Uma matriz A in Mn é anti-simétrica se A^T+A=0. Prove que o conjunto W das matrizes anti-simétricas é um subespaço vetorial de Mn. Determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto das matrizes anti-simétricas é um subespaço vetorial de . Depois, precisamos determinar uma base para e achar a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz anti-simétrica, revisar as propriedades de subespaços vetoriais e usar um pouco de combinatória para encontrar a base e a dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se , ou seja, a transposta de é igual ao inverso de . Isso implica que . Além disso, na diagonal principal, como , temos que para todo .

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subespaço vetorial de , precisamos verificar três condições:
  1. O conjunto não está vazio: A matriz zero, que tem todos os elementos iguais a zero, satisfaz , pois . Portanto, não está vazio.
  2. Fechado sob adição: Se e são matrizes anti-simétricas, então . Assim, também é anti-simétrica.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se é anti-simétrica e é um escalar, então . Portanto, também é anti-simétrica.
Como todas as condições são satisfeitas, é de fato um subespaço vetorial de .

Passo 4

Para encontrar uma base de , vamos pensar nas matrizes anti-simétricas padrão. Sabemos que, em uma matriz anti-simétrica, todos os elementos da diagonal são zero e os elementos acima da diagonal determinam os elementos abaixo da diagonal (pois ).
Então, para cada par de índices com , podemos definir uma matriz onde:
  • ,
  • ,
  • Todos os outros elementos são zero.
Essas matrizes formam uma base para , pois qualquer matriz anti-simétrica pode ser expressa como uma combinação linear dessas matrizes.

Passo 5

Agora, vamos determinar a dimensão de binomn2 = n(n - 1)2 . Precisamos contar quantas matrizes existem. Para uma matriz , o número de pares com é dado por combinações de elementos tomados 2 a 2, ou seja:
Portanto, a dimensão de é .

Resposta

O conjunto das matrizes anti-simétricas é um subespaço vetorial de . Uma base para é formada pelas matrizes com , onde , e os demais elementos são zero. A dimensão de é .

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