Uma matriz
é anti-simétrica se
. Prove que o conjunto
das matrizes anti-simétricas é um subespaço vetorial de
. Determine uma base e a dimensão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto
das matrizes anti-simétricas é um subespaço vetorial de
. Depois, precisamos determinar uma base para
e achar a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz anti-simétrica, revisar as propriedades de subespaços vetoriais e usar um pouco de combinatória para encontrar a base e a dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz
é anti-simétrica se
, ou seja, a transposta de
é igual ao inverso de
. Isso implica que
. Além disso, na diagonal principal, como
, temos que
para todo
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subespaço vetorial de
, precisamos verificar três condições:
-
O conjunto
não está vazio: A matriz zero, que tem todos os elementos iguais a zero, satisfaz , pois . Portanto, não está vazio. -
Fechado sob adição: Se
e são matrizes anti-simétricas, então . Assim, também é anti-simétrica. -
Fechado sob multiplicação por escalar: Se
é anti-simétrica e é um escalar, então . Portanto, também é anti-simétrica.
Como todas as condições são satisfeitas,
é de fato um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Para encontrar uma base de
, vamos pensar nas matrizes anti-simétricas padrão. Sabemos que, em uma matriz anti-simétrica, todos os elementos da diagonal são zero e os elementos acima da diagonal determinam os elementos abaixo da diagonal (pois
).
Então, para cada par de índices
com
, podemos definir uma matriz
onde:
-
, -
, - Todos os outros elementos são zero.
Essas matrizes
formam uma base para
, pois qualquer matriz anti-simétrica pode ser expressa como uma combinação linear dessas matrizes.
Passo 5
Agora, vamos determinar a dimensão de
. Precisamos contar quantas matrizes
existem. Para uma matriz
, o número de pares
com
é dado por combinações de
elementos tomados 2 a 2, ou seja:
Portanto, a dimensão de
é
.
Resposta
O conjunto
das matrizes anti-simétricas é um subespaço vetorial de
. Uma base para
é formada pelas matrizes
com
, onde
,
e os demais elementos são zero. A dimensão de
é
.