Seja
um conjunto L.I. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.:
a)
;
b)
;
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que
é um conjunto linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial
. Nosso objetivo é verificar se os conjuntos
,
e
são L.I. ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e investigar se existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor zero.
Passo 2
Vamos começar com o item a):
.
Primeiro, precisamos verificar se existe uma combinação dos vetores de
que dá zero, ou seja, se existem escalares
tal que:
Passo 3
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Como
é L.I., os coeficientes devem ser zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da última equação, .
Da última equação,
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Passo 6
Como a única solução é
, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Resposta final para item a): O conjunto
é linearmente independente (L.I.).
Passo 8
Agora, vamos para o item b):
.
Vamos verificar se existe uma combinação dos vetores de
que resulta no zero:
Passo 9
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 10
Como
é L.I., os coeficientes devem ser zero:
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Da primeira equação,
Da segunda equação,
.
Da terceira equação,
.
Então, todos os três coeficientes são iguais:
.
Passo 12
Isso significa que existe uma infinidade de soluções não triviais (por exemplo,
), indicando dependência linear.
Passo 13
Resposta final para item b): O conjunto
é linearmente dependente (L.D.).
Passo 14
Por fim, vamos analisar o item c):
.
Vamos verificar se existe uma combinação dos vetores de
que resulta no zero:
Passo 15
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 16
Como
é L.I., os coeficientes devem ser zero:
Passo 17
Da segunda equação,
.
Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação:
Passo 18
Como a única solução é
, isso indica que os vetores são linearmente independentes.
Passo 19
Resposta final para item c): O conjunto
é linearmente independente (L.I.).
Resposta
a)
é linearmente independente (L.I.).
b) é linearmente dependente (L.D.).
c) é linearmente independente (L.I.).
b)
c)