Seja S=u, v, w um conjunto L.I. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.:
a) Sa=u, u+v, u+v+w;
b) Sb=u-v, v-w, w-u;
c) Sc=u+w, u+v+w, w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que é um conjunto linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial . Nosso objetivo é verificar se os conjuntos , e são L.I. ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e investigar se existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor zero.

Passo 2

Vamos começar com o item a): alpha u + beta (u + v) + gamma (u + v + w) = 0 .
Primeiro, precisamos verificar se existe uma combinação dos vetores de que dá zero, ou seja, se existem escalares tal que:

Passo 3

Expandindo a equação:
alpha u + beta u + beta v + gamma u + gamma v + gamma w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(alpha + beta + gamma)u + (beta + gamma)v + gamma w = 0

Passo 4

Como alpha + beta + gamma = 0 beta + gamma = 0 gamma = 0 é L.I., os coeficientes devem ser zero:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da última equação, beta + 0 = 0 Rightarrow beta = 0 .
Substituindo na segunda equação:
alpha + 0 + 0 = 0 Rightarrow alpha = 0
E na primeira equação:

Passo 6

Como a única solução é , isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Resposta final para item a): O conjunto é linearmente independente (L.I.).

Passo 8

Agora, vamos para o item b): alpha (u - v) + beta (v - w) + gamma (w - u) = 0 .
Vamos verificar se existe uma combinação dos vetores de que resulta no zero:

Passo 9

Expandindo a equação:
alpha u - alpha v + beta v - beta w + gamma w - gamma u = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(alpha - gamma)u + (-alpha + beta)v + (-beta + gamma)w = 0

Passo 10

Como alpha - gamma = 0 -alpha + beta = 0 -beta + gamma = 0 é L.I., os coeficientes devem ser zero:

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Da segunda equação, .
Da terceira equação, .
Então, todos os três coeficientes são iguais: .

Passo 12

Isso significa que existe uma infinidade de soluções não triviais (por exemplo, ), indicando dependência linear.

Passo 13

Resposta final para item b): O conjunto é linearmente dependente (L.D.).

Passo 14

Por fim, vamos analisar o item c): alpha (u + w) + beta (u + v + w) + gamma w = 0 .
Vamos verificar se existe uma combinação dos vetores de que resulta no zero:

Passo 15

Expandindo a equação:
alpha u + alpha w + beta u + beta v + beta w + gamma w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(alpha + beta)u + beta v + (alpha + beta + gamma)w = 0

Passo 16

Como alpha + beta = 0 beta = 0 alpha + beta + gamma = 0 é L.I., os coeficientes devem ser zero:

Passo 17

Da segunda equação, alpha + 0 = 0 Rightarrow alpha = 0 .
Substituindo na primeira equação:
0 + 0 + gamma = 0 Rightarrow gamma = 0
E na terceira equação:

Passo 18

Como a única solução é , isso indica que os vetores são linearmente independentes.

Passo 19

Resposta final para item c): O conjunto é linearmente independente (L.I.).

Resposta

a) é linearmente independente (L.I.).
b) é linearmente dependente (L.D.).
c) é linearmente independente (L.I.).

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