Quais das transformações abaixo são lineares?
© T: R^4 longrightarrow R^3, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, x+z).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício: estamos verificando se a transformação definida por é linear. Para isso, vamos precisar entender o conceito de transformação linear e aplicar os critérios que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição Vetorial: para todos os vetores e no domínio.
  2. Multiplicação por Escalar: para todo vetor no domínio e todo escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Verificando a Adição Vetorial:
Sejam u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) e T(u + v) = ( (x1 + x2) - (w1 + w2), (y1 + y2) - (w1 + w2), (x1 + x2) + (z1 + z2) ) . Vamos calcular T(u + v) = (x1 + x2 - w1 - w2, y1 + y2 - w1 - w2, x1 + x2 + z1 + z2) e T(u) = (x1 - w1, y1 - w1, x1 + z1) .
Primeiro, a soma dos vetores:
T(v) = (x2 - w2, y2 - w2, x2 + z2)
Aplicando T(u) + T(v) = (x1 - w1 + x2 - w2, y1 - w1 + y2 - w2, x1 + z1 + x2 + z2) :
(x1 + x2 - w1 - w2, y1 + y2 - w1 - w2, x1 + x2 + z1 + z2)
Simplificando:
Agora, calculando :
Somando:
Que é igual a:
Como , a propriedade da adição vetorial é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Seja cu = (cx, cy, cz, cw) um escalar e T(cu) = (cx - cw, cy - cw, cx + cz) . Vamos calcular T(cu) = c(x - w, y - w, x + z) = cT(u) e .
Primeiro, multiplicando o vetor por :
Aplicando :
Fatorando :
Como , a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

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