Quais das transformações abaixo são lineares?
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Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício: estamos verificando se a transformação
definida por
é linear. Para isso, vamos precisar entender o conceito de transformação linear e aplicar os critérios que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades principais:
- Adição Vetorial:
para todos os vetores e no domínio. - Multiplicação por Escalar:
para todo vetor no domínio e todo escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Verificando a Adição Vetorial:
Sejam
e
. Vamos calcular
e
.
Primeiro, a soma dos vetores:
Aplicando
:
Simplificando:
Agora, calculando
:
Somando:
Que é igual a:
Como
, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Seja
um escalar e
. Vamos calcular
e
.
Primeiro, multiplicando o vetor por
:
Aplicando
:
Fatorando
:
Como
, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
A transformação
é linear.