Determine a in R tal que a matriz A seja inversível.
A=(lll 1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & a )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir para qual valor de a matriz é inversível. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes e a condição de uma matriz ser inversível. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e ver para quais valores de esse determinante não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, se , a matriz tem uma inversa. Então, nosso objetivo é calcular e encontrar os valores de que fazem isso acontecer.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & a . A matriz dada é:
det(A) = 1 cdot 1 cdot a + 1 cdot 2 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 2 cdot a - 1 cdot 2 cdot 1
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = (1 cdot 1 cdot a) + (1 cdot 2 cdot 1) + (1 cdot 2 cdot 1) - (1 cdot 1 cdot 1) - (1 cdot 2 cdot a) - (1 cdot 2 cdot 1)
Simplificando isso:
det(A) = a + 2 + 2 - 1 - 2a - 2
det(A) = -a +1

Passo 4

Agora que temos o determinante -a + 1 neq 0 , vamos garantir que ele seja diferente de zero para que a matriz seja inversível:
-a + 1 neq 0 -a neq -1 a neq 1
Resolvendo para :

Resposta

Então, a matriz é inversível para todo número real tal que .

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