Demonstre a lei associativa da multiplicação para matrizes 2 times 2; isto é, considere
c A=(ll a11 & a12 a21 & a22 ), B=(ll b11 & b12 b21 & b22 ) C=(ll c11 & c12 c21 & c22 )
Mostre
e mostre que
(A B) C=A(B C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar a lei associativa da multiplicação de matrizes para matrizes de tamanho . Isso significa que, dado três matrizes , e , queremos mostrar que . Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender a propriedade associativa.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A times B = a11 & a12 a21 & a22 b11 & b12 b21 & b22 = a11b11 + a12b21 & a11b12 + a12b22 a21b11 + a22b21 & a21b12 + a22b22 e . Lembra como se faz a multiplicação de duas matrizes ? Cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de e das colunas de . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o resultado D = A times B = d11 & d12 d21 & d22 = a11b11 + a12b21 & a11b12 + a12b22 a21b11 + a22b21 & a21b12 + a22b22 pela matriz D times C = d11 & d12 d21 & d22 c11 & c12 c21 & c22 = d11c11 + d12c21 & d11c12 + d12c22 d21c11 + d22c21 & d21c12 + d22c22 . Vamos chamar (A times B) times C = (a11b11 + a12b21)c11 + (a11b12 + a12b22)c21 & dots dots & dots de para facilitar:
Agora, calculamos :
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos fazer o outro lado da equação: primeiro multiplicar B times C = b11c11 + b12c21 & b11c12 + b12c22 b21c11 + b22c21 & b21c12 + b22c22 = e11 & e12 e21 & e22 e depois multiplicar A times (B times C) = a11 & a12 a21 & a22 e11 & e12 e21 & e22 = a11e11 + a12e21 & a11e12 + a12e22 a21e11 + a22e21 & a21e12 + a22e22 por esse resultado. Primeiramente, calculamos A times (B times C) = a11(b11c11 + b12c21) + a12(b21c11 + b22c21) & dots dots & dots :
Agora, multiplicamos por esse resultado:
Substituindo :

Passo 5

Vamos comparar agora as duas expressões que obtivemos para (A times B) times C = A times (B times C) e . Observamos que, ao expandir ambas as expressões, os elementos correspondentes das matrizes resultantes são iguais devido à distributividade da multiplicação em relação à adição dos números reais. Isso significa que:

Resposta

Portanto, demonstramos que a multiplicação de matrizes satisfaz a lei associativa, ou seja, .

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