Demonstre a lei associativa da multiplicação para matrizes
; isto é, considere
Mostre
e mostre que
e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar a lei associativa da multiplicação de matrizes para matrizes de tamanho
. Isso significa que, dado três matrizes
,
e
, queremos mostrar que
. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender a propriedade associativa.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar as matrizes
e
. Lembra como se faz a multiplicação de duas matrizes
? Cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de
e das colunas de
. Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar o resultado
pela matriz
. Vamos chamar
de
para facilitar:
Agora, calculamos
:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos fazer o outro lado da equação: primeiro multiplicar
e depois multiplicar
por esse resultado. Primeiramente, calculamos
:
Agora, multiplicamos
por esse resultado:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos comparar agora as duas expressões que obtivemos para
e
. Observamos que, ao expandir ambas as expressões, os elementos correspondentes das matrizes resultantes são iguais devido à distributividade da multiplicação em relação à adição dos números reais. Isso significa que:
Resposta
Portanto, demonstramos que a multiplicação de matrizes
satisfaz a lei associativa, ou seja,
.