Sejam beta=[u, v, w] uma base, a=u+v, b=u+w e c=v+w. Verifique que e=[a, b, c] é base R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma base e três novos vetores definidos por , e . Nossa missão é verificar se o conjunto também forma uma base no espaço . Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem gerar todo o espaço. No caso do , precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.

Passo 3

Agora, vamos ver os vetores que temos:
a = u + v
b = u + w
c = v + w
Como é uma base de , sabemos que , e são vetores linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar se é uma base de , precisamos ver se esses vetores são linearmente independentes e se eles conseguem gerar todo o espaço .
No entanto, note que estamos trabalhando com três vetores ( , , ) em um espaço de dimensão 2 ( ). Em , precisamos de apenas dois vetores para formar uma base. Ter três vetores em significa que pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, ou seja, eles não são todos linearmente independentes.

Passo 5

Como possui três vetores em um espaço de dimensão 2, não é possível que todos sejam linearmente independentes. Portanto, não é uma base de .

Resposta

O conjunto não forma uma base de porque contém mais vetores do que a dimensão do espaço, tornando-os linearmente dependentes.

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