Verificar se os seguintes conjuntos são bases do R^3. Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto: S=(1,0,1),(0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se o conjunto é uma base de . Se não for, precisamos encontrar qual subespaço esse conjunto gera, além de uma base e a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de bases, espaços vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, lembro que uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço . Ou seja, precisamos de três vetores que não são combinações lineares uns dos outros e que qualquer vetor em possa ser formado a partir deles.
Nosso conjunto tem apenas dois vetores, então já sabemos que não pode ser uma base de porque faltam um vetor para completar os três necessários.

Passo 3

Agora, vamos determinar o subespaço gerado por v = a(1,0,1) + b(0,1,1) . Esse subespaço é formado por todas as combinações lineares dos vetores de . Ou seja, qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como:
onde e são números reais.

Passo 4

Vamos escrever isso de forma mais clara:
v = (a cdot 1 + b cdot 0, a cdot 0 + b cdot 1, a cdot 1 + b cdot 1) = (a, b, a + b)
Então, todo vetor no subespaço gerado por tem a forma .

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço. Já que tem dois vetores e eles são linearmente independentes (pois nenhum é múltiplo do outro), já é uma base para o subespaço que gera.
Portanto, a base desse subespaço é .

Passo 6

Por fim, a dimensão desse subespaço é o número de vetores na base, que neste caso é 2.

Resposta

O conjunto não é uma base de . O subespaço gerado por é o conjunto de todos os vetores da forma , uma base para esse subespaço é mesmo, e a dimensão desse subespaço é 2.

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