Verificar se os seguintes conjuntos são bases do
. Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se o conjunto
é uma base de
. Se não for, precisamos encontrar qual subespaço esse conjunto gera, além de uma base e a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de bases, espaços vetoriais e independência linear.
Passo 2
Primeiro, lembro que uma base de
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço
. Ou seja, precisamos de três vetores que não são combinações lineares uns dos outros e que qualquer vetor em
possa ser formado a partir deles.
Nosso conjunto
tem apenas dois vetores, então já sabemos que não pode ser uma base de
porque faltam um vetor para completar os três necessários.
Passo 3
Agora, vamos determinar o subespaço gerado por
. Esse subespaço é formado por todas as combinações lineares dos vetores de
. Ou seja, qualquer vetor
nesse subespaço pode ser escrito como:
onde
e
são números reais.
Passo 4
Vamos escrever isso de forma mais clara:
Então, todo vetor no subespaço gerado por
tem a forma
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço. Já que
tem dois vetores e eles são linearmente independentes (pois nenhum é múltiplo do outro),
já é uma base para o subespaço que gera.
Portanto, a base desse subespaço é
.
Passo 6
Por fim, a dimensão desse subespaço é o número de vetores na base, que neste caso é 2.
Resposta
O conjunto
não é uma base de
. O subespaço gerado por
é o conjunto de todos os vetores da forma
, uma base para esse subespaço é
mesmo, e a dimensão desse subespaço é 2.
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Calcule o produto interno
, onde:
a) ;
b) ;
c) ;
a)
b)
c)
Obter uma base para
que contenha os vetores:
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Sejam
e
bases de
Obter: As matrizes de mudança de base: