com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de vetores
e as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar. A matéria aqui é sobre espaços vetoriais e vamos precisar verificar se
satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde a gente pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e isso segue certas regras, chamadas de axiomas. Para
ser um espaço vetorial, todos esses axiomas precisam ser satisfeitos.
Passo 3
Vamos verificar o axioma de existência do elemento zero. Isso significa que deve existir um vetor
em
tal que, para qualquer vetor
em
,
. Vamos tentar encontrar esse vetor zero.
Se
, vamos ver se existe um vetor
que satisfaz essa condição. Substituindo
:
Então, o suposto vetor zero seria
. Vamos testar se ele realmente funciona como zero:
Mas queremos que isso seja igual a
, então:
Isso implica que
, o que não é possível. Portanto, não existe um vetor zero em
.
Passo 4
Já vemos um problema: falta o vetor zero. Mas só pra confirmar, vamos ver outro axioma, como a fechadura sob a adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores em
e somar, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar
e
. A soma deles é:
Para que
esteja em
, devemos ter:
Vamos verificar:
Comparando com a condição
:
Isso dá:
O que não é verdade. Portanto, a soma de dois vetores de
não está em
.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma da existência do vetor zero e não é fechado sob a adição.