V=(x, y) mid y=x+1 com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de vetores e as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar. A matéria aqui é sobre espaços vetoriais e vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde a gente pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e isso segue certas regras, chamadas de axiomas. Para ser um espaço vetorial, todos esses axiomas precisam ser satisfeitos.

Passo 3

Vamos verificar o axioma de existência do elemento zero. Isso significa que deve existir um vetor y = 0 + 1 = 1 em (x, y) + (0, 1) = (x + 0, y + 1) = (x, y + 1) tal que, para qualquer vetor (x, y + 1) = (x, y) em , . Vamos tentar encontrar esse vetor zero.
Se , vamos ver se existe um vetor que satisfaz essa condição. Substituindo :
Então, o suposto vetor zero seria . Vamos testar se ele realmente funciona como zero:
Mas queremos que isso seja igual a , então:
Isso implica que , o que não é possível. Portanto, não existe um vetor zero em .

Passo 4

Já vemos um problema: falta o vetor zero. Mas só pra confirmar, vamos ver outro axioma, como a fechadura sob a adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores em v1 + v2 = (x1 + x2, (x1 + 1) + (x2 + 1)) = (x1 + x2, x1 + x2 + 2) e somar, o resultado também deve estar em y = x + 1 .
Vamos pegar x = x1 + x2 e y = x1 + x2 + 2 . A soma deles é:
x1 + x2 + 2 stackrel?= (x1 + x2) + 1
Para que x1 + x2 + 2 = x1 + x2 + 1 esteja em , devemos ter:
Vamos verificar:
Comparando com a condição :
Isso dá:
O que não é verdade. Portanto, a soma de dois vetores de não está em .

Resposta

Não, o conjunto com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma da existência do vetor zero e não é fechado sob a adição.

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