(9 pts) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a base C em uma base ortogonal de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar uma base C de R^3 em uma base ortogonal usando o processo de Gram-Schmidt. Isso faz parte de Álgebra Linear, especificamente no estudo de bases e ortogonalização. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método de Gram-Schmidt e aplicar ele passo a passo nos vetores da base original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que, no caso ortogonal, cada par de vetores é perpendicular, ou seja, o produto interno entre eles é zero. O processo de Gram-Schmidt pega uma sequência de vetores e os transforma em uma base ortogonal mantendo o espaço gerado pelos vetores original.

Passo 3

Vamos supor que a base C seja composta por três vetores c1, c2, e c3. O objetivo é encontrar três novos vetores ortogonais u1, , e que formem a nova base.

Passo 4

Primeiro Vetor ( u1):
Começamos definindo o primeiro vetor da nova base como sendo igual ao primeiro vetor da base original:
u1 = c1
Esse vetor já está “automáticamente” ortogonal, pois não há vetores anteriores para comparar.

Passo 5

Segundo Vetor ( u2):
Agora, queremos que u2 seja ortogonal a u1. Para isso, subtraímos da c2 a projeção dela sobre u1:
u2 = c2 - proju1 c2
A projeção é calculada assim:
proju1 c2 = c2 cdot u1u1 cdot u1 u1

Passo 6

Terceiro Vetor ( u3):
Finalmente, queremos que u3 seja ortogonal a ambos u1 e u2. Fazemos isso subtraindo de c3 as projeções sobre u1 e u2:
u3 = c3 - proju1 c3 - proju2 c3
Calculando cada projeção:
proju1 c3 = c3 cdot u1u1 cdot u1 u1
proju2 c3 = c3 cdot u2u2 cdot u2 u2

Resposta

Pronto! Aplicando o processo de Gram-Schmidt, a base ortogonal resultante de C em R^3 é composta pelos vetores u1, , e conforme calculado nos passos acima.

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