(9 pts) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a base
em uma base ortogonal de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar uma base
de
em uma base ortogonal usando o processo de Gram-Schmidt. Isso faz parte de Álgebra Linear, especificamente no estudo de bases e ortogonalização. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método de Gram-Schmidt e aplicar ele passo a passo nos vetores da base original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que, no caso ortogonal, cada par de vetores é perpendicular, ou seja, o produto interno entre eles é zero. O processo de Gram-Schmidt pega uma sequência de vetores e os transforma em uma base ortogonal mantendo o espaço gerado pelos vetores original.
Passo 3
Vamos supor que a base
seja composta por três vetores
,
, e
. O objetivo é encontrar três novos vetores ortogonais
, , e que formem a nova base.
Passo 4
Primeiro Vetor (
):
Começamos definindo o primeiro vetor da nova base como sendo igual ao primeiro vetor da base original:
Esse vetor já está “automáticamente” ortogonal, pois não há vetores anteriores para comparar.
Passo 5
Segundo Vetor (
):
Agora, queremos que
seja ortogonal a
. Para isso, subtraímos da
a projeção dela sobre
:
A projeção é calculada assim:
Passo 6
Terceiro Vetor (
):
Finalmente, queremos que
seja ortogonal a ambos
e
. Fazemos isso subtraindo de
as projeções sobre
e
:
Calculando cada projeção:
Resposta
Pronto! Aplicando o processo de Gram-Schmidt, a base ortogonal resultante de
em
é composta pelos vetores
, , e conforme calculado nos passos acima.