Sejam A=[cccc1 & 1 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & 3 1 & -3 & -2 & 4] e B=[cccc1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0].
© Determine o posto e a nulidade de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o posto e a nulidade da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, a gente vai precisar transformar a matriz em uma forma mais simples chamada forma escalonada usando operações elementares de linha. Com isso, conseguimos identificar o posto e, a partir dele, calcular a nulidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de vetores linearmente independentes nas linhas (ou colunas) da matriz. Em termos práticos, após transformar a matriz em forma escalonada, o posto será igual ao número de linhas não nulas.
Vamos começar transformando a matriz A = 1 & 1 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & 3 1 & -3 & -2 & 4 em forma escalonada:

Passo 3

Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
  • Linha 2: 1 & 1 & 2 & 0 0 & -3 & -5 & 3 0 & -4 & -4 & 4
  • Linha 3:
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento na posição (2,2) seja o pivô. Para isso, podemos dividir a segunda linha por -3:
Linha 2 = 1-3 times Linha 2
Isso resulta em:
1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 53 & -1 0 & -4 & -4 & 4

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o elemento abaixo dela na coluna 2 (posição (3,2)):
Linha 3 + 4 times Linha 2
Calculando:
  • 1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 53 & -1 0 & 0 & 83 & 0
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por Linha 3 = 38 times Linha 3 :
1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 53 & -1 0 & 0 & 1 & 0
Isso dá:
Agora, nossa matriz está em forma escalonada. Cada pivô (1) está à direita do pivô acima dele, e todas as linhas não nulas estão acima das linhas nulas (no caso, não temos linhas nulas).

Passo 7

Com a matriz em forma escalonada, podemos contar o número de linhas não nulas para determinar o posto. Aqui, temos 3 linhas não nulas, então:
Posto(A) = 3

Passo 8

A nulidade de uma matriz é dada pela diferença entre o número de colunas e o posto. A matriz Nulidade(A) = 4 - Posto(A) = 4 - 3 = 1 tem 4 colunas, então:

Resposta

O posto da matriz é 3 e a nulidade de é 1.

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Sejam A=(ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & -1), B=(ccc-2 & 0 & 1 3 & 0 & 1), C=(c-1 2 4), D=(ll-2 & 1), E=(cc1 & 0 3 & -1 4 & 2), F=(ll1 & 0 0 & 1). Calcule, quando possível:
E^T+(-A)
Achar a distância entre as retas r1 e r2, nos casos:
r1:lx=lambda+1 y=lambda+2 z=-2 lambda-2
Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de V.
U2=(x, y, z, t) in R^4: x-y=z+t, V=R^4;
Seja W=[v1, v2] subset C^3, onde v1=(1,0, i) e v2=(1+i, 1,-1).
Mostre que v1, v2 é uma base de W.