Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o posto e a nulidade da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, a gente vai precisar transformar a matriz em uma forma mais simples chamada forma escalonada usando operações elementares de linha. Com isso, conseguimos identificar o posto e, a partir dele, calcular a nulidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de vetores linearmente independentes nas linhas (ou colunas) da matriz. Em termos práticos, após transformar a matriz em forma escalonada, o posto será igual ao número de linhas não nulas.
Vamos começar transformando a matriz A = 1 & 1 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & 3 1 & -3 & -2 & 4 em forma escalonada:
Passo 3
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento na posição (2,2) seja o pivô. Para isso, podemos dividir a segunda linha por -3:
Linha 2 = 1-3 times Linha 2
Isso resulta em:
1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 53 & -1 0 & -4 & -4 & 4
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o elemento abaixo dela na coluna 2 (posição (3,2)):
Linha 3 + 4 times Linha 2
Calculando:
1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 53 & -1 0 & 0 & 83 & 0
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por Linha 3 = 38 times Linha 3 :
1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 53 & -1 0 & 0 & 1 & 0
Isso dá:
Agora, nossa matriz está em forma escalonada. Cada pivô (1) está à direita do pivô acima dele, e todas as linhas não nulas estão acima das linhas nulas (no caso, não temos linhas nulas).
Passo 7
Com a matriz em forma escalonada, podemos contar o número de linhas não nulas para determinar o posto. Aqui, temos 3 linhas não nulas, então:
Posto(A) = 3
Passo 8
A nulidade de uma matriz é dada pela diferença entre o número de colunas e o posto. A matriz Nulidade(A) = 4 - Posto(A) = 4 - 3 = 1 tem 4 colunas, então: