Seja W=[v1, v2] subset C^3, onde v1=(1,0, i) e v2=(1+i, 1,-1).
Mostre que v1, v2 é uma base de W.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem o espaço formado pelos vetores e dentro de . O objetivo é mostrar que esses dois vetores formam uma base para . Para isso, precisamos entender dois conceitos principais: span (ou seja, é todo o conjunto de combinações lineares desses vetores) e independência linear (que garante que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear do outro). Se os vetores geram e são linearmente independentes, então eles formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a(1, 0, i) + b(1+i, 1, -1) = (0, 0, 0) e são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é e . Vamos escrever essa equação detalhadamente:

Passo 3

Agora, vamos separar as componentes para formar um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
b = 0
Substituindo a + 0 = 0 implies a = 0 na primeira equação:
a i + 0 = 0 implies a = 0
E na terceira equação:

Passo 5

Encontramos que e são as únicas soluções possíveis. Isso significa que e são linearmente independentes.

Passo 6

Já que e são linearmente independentes e é o espaço gerado por esses vetores, podemos afirmar que eles formam uma base para .

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

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