Vamos lá! A gente tem o espaço formado pelos vetores e dentro de . O objetivo é mostrar que esses dois vetores formam uma base para . Para isso, precisamos entender dois conceitos principais: span (ou seja, é todo o conjunto de combinações lineares desses vetores) e independência linear (que garante que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear do outro). Se os vetores geram e são linearmente independentes, então eles formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se e são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é e . Vamos escrever essa equação detalhadamente:
Passo 3
Agora, vamos separar as componentes para formar um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação:
Passo 5
Encontramos que e são as únicas soluções possíveis. Isso significa que e são linearmente independentes.
Passo 6
Já que e são linearmente independentes e é o espaço gerado por esses vetores, podemos afirmar que eles formam uma base para .