Seja
, onde
e
.
Mostre que
é uma base de
.
Mostre que
Passo 1
Vamos lá! A gente tem o espaço
formado pelos vetores
e
dentro de
. O objetivo é mostrar que esses dois vetores formam uma base para
. Para isso, precisamos entender dois conceitos principais: span (ou seja,
é todo o conjunto de combinações lineares desses vetores) e independência linear (que garante que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear do outro). Se os vetores geram
e são linearmente independentes, então eles formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação
é
e
. Vamos escrever essa equação detalhadamente:
Passo 3
Agora, vamos separar as componentes para formar um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
E na terceira equação:
Passo 5
Encontramos que
e
são as únicas soluções possíveis. Isso significa que
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Já que
e
são linearmente independentes e
é o espaço gerado por esses vetores, podemos afirmar que eles formam uma base para
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base de
.