Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de V.
U2=(x, y, z, t) in R^4: x-y=z+t, V=R^4;

Passo 1

Então, o enunciado está pedindo para a gente encontrar um conjunto de vetores que gera o subespaço de , onde é formado por todos os vetores que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar esses vetores usando combinações lineares de outros vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação x = y + z + t para isolar uma das variáveis. Vamos resolver para :
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor (y + z + t, y, z, t) = y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(1, 0, 0, 1) em termos das variáveis livres , e . Podemos separar cada parte que multiplica essas variáveis:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 4

Dessa forma, os vetores , e conseguem gerar todo o subespaço . Isso significa que esse conjunto de vetores é um conjunto de geradores para .

Resposta

Um conjunto de geradores para , (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), é:

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