Sejam
e
constantes positivas.
Encontre os valores extremos de
sujeita a condição
.
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Encontre os valores extremos de
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da expressão
, onde
e
são constantes positivas. A condição que temos é
, que representa um círculo de raio 1 no plano. Para resolver isso, vamos usar um método de otimização com restrição, ou seja, vamos descobrir os pontos no círculo onde
atinge seus valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos maximizar ou minimizar
dentro do círculo
. Uma maneira de fazer isso é usar Lagrange Multipliers, que é uma técnica para encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 3
Vamos definir a função que queremos otimizar:
E a restrição é:
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, no ponto extremo, o gradiente de
é proporcional ao gradiente de
:
Passo 4
Calculando os gradientes:
Então, temos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Vamos resolver para
e
em termos de
:
Agora, substituímos essas expressões na restrição
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos substituir
de volta nas expressões de
e
:
Para :
Para
Simplificando:
Passo 7
Para
, teremos:
Então, temos dois pontos críticos:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Para o primeiro ponto:
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:
Resposta
Os valores extremos de
sujeitos à condição
são:
- Máximo:
- Mínimo:
Geometricamente, isso significa que a reta
atinge seus pontos mais altos e mais baixos tangenciando o círculo
nos pontos onde
é máximo e mínimo, respectivamente.
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia, diferencie:
Seja
definida do retângulo
por
Calcule o volume abaixo de
e acima do retângulo
.
Calcule
.
Esboce a região de integração e calcule a integral dupla para:
com
a região triangular com vértices
e
.