Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é a seguinte:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas sobre uma região quadrada no plano. Para resolver isso, vamos precisar separar as integrais e usar algumas identidades trigonométricas para simplificar.
Passo 2
Primeiro, observe que a região de integração é um produto de intervalos, ou seja, . Isso significa que podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Isso facilita bastante nosso trabalho, já que agora temos que resolver apenas duas integrais de funções de uma variável.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos a identidade trigonométrica que ajuda a simplificar o quadrado do seno:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é fácil:
Para a segunda integral, sabemos que:
Então:
Portanto, a integral fica:
12 (pi - 0) = pi2
Passo 5
O mesmo procedimento vale para a integral em integral0^pi sin^2 y , dy = pi2 :
Resposta
Multiplicando os resultados das duas integrais simples, temos:
integral duplaQ sin^2 x sin^2 y , dx , dy = ( pi2 ) ( pi2 ) = pi^24