Calcule
integral duplaQ sin ^2 x sin ^2 y d x d y, Q=[0, pi] times[0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é a seguinte:
integral duplaQ sin^2 x sin^2 y , dx , dy, Q = [0, pi] times [0, pi]
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas sobre uma região quadrada no plano. Para resolver isso, vamos precisar separar as integrais e usar algumas identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, observe que a região de integração integral duplaQ sin^2 x sin^2 y , dx , dy = ( integral0^pi sin^2 x , dx ) ( integral0^pi sin^2 y , dy ) é um produto de intervalos, ou seja, . Isso significa que podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Isso facilita bastante nosso trabalho, já que agora temos que resolver apenas duas integrais de funções de uma variável.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral sin^2 x = 1 - cos(2x)2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica que ajuda a simplificar o quadrado do seno:
integral0^pi sin^2 x , dx = integral0^pi 1 - cos(2x)2 , dx = 12 integral0^pi (1 - cos(2x)) , dx
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 [ integral0^pi 1 , dx - integral0^pi cos(2x) , dx ]
A primeira integral é fácil:
integral0^pi 1 , dx = pi
Para a segunda integral, sabemos que:
integral cos(2x) , dx = sin(2x)2
Então:
integral0^pi cos(2x) , dx = sin(2x)2 |0^pi = sin(2pi)2 - sin(0)2 = 0 - 0 = 0
Portanto, a integral fica:
12 (pi - 0) = pi2

Passo 5

O mesmo procedimento vale para a integral em integral0^pi sin^2 y , dy = pi2 :

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais simples, temos:
integral duplaQ sin^2 x sin^2 y , dx , dy = ( pi2 ) ( pi2 ) = pi^24

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Sejam a e b constantes positivas.
Encontre os valores extremos de z = x / a + y / b sujeita a condição x^2 + y^2 = 1.
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.
Usando a regra da cadeia, diferencie:
f(x) = e^(t(x))
Esboce a região de integração e calcule a integral dupla para:
integral duplaD x cos (x+y) d A com D a região triangular com vértices (0,0),(pi, 0) e (0, pi).
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
g(x)=x^2+3*x*sec(x)