Esboce a região de integração e calcule a integral dupla para:
integral duplaD x cos (x+y) d A com D a região triangular com vértices (0,0),(pi, 0) e (0, pi).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar a região de integração, que é um triângulo com vértices em , e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente sobre regiões triangulares. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração corretamente e calcular a integral da função sobre essa região.

Passo 2

Vamos desenhar a região triangular no plano . Os vértices do triângulo são , e . Esse triângulo está no primeiro quadrante, com a base sobre o eixo de a e a altura sobre o eixo de a .

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para a integral dupla. Podemos escolher integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em e depois em .

Passo 4

Para cada valor de 0 <= y <= pi e 0 <= x <= pi - y entre e , varia de até . Isso porque a linha que liga a tem a equação . Portanto, os limites de integração são:

Passo 5

Com os limites definidos, a integral dupla fica:
integral duplaD x cos(x + y) , dA = integral0^pi integral0^pi - y x cos(x + y) , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^pi - y x cos(x + y) , dx :
u = x Rightarrow du = dx
Aqui, podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos escolher:
dv = cos(x + y) , dx Rightarrow v = sin(x + y)

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
integral x cos(x + y) , dx = x sin(x + y) - integral sin(x + y) , dx
= x sin(x + y) + cos(x + y) + C

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão de [ (pi - y) sin(pi) + cos(pi) ] - [ 0 cdot sin(y) + cos(y) ] a = [0 - 1] - cos(y) = -1 - cos(y) :
Sabemos que e , então:

Passo 9

Substituindo na integral externa:
integral0^pi (-1 - cos(y)) , dy = -integral0^pi 1 , dy - integral0^pi cos(y) , dy
= -pi - [sin(y)]0^pi = -pi - (0 - 0) = -pi

Resposta

O valor da integral dupla é .

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