Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções, como domínio, interceptos, simetrias, derivadas para encontrar pontos críticos e entender o comportamento da função. Vamos precisar seguir alguns passos para identificar todas essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função racional, que é o caso da nossa função , inclui todos os valores de para os quais o denominador não é zero.
Então, temos:
Como sempre é positivo ou zero, nunca será zero. Portanto, o domínio de é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos e .
Interceptação com o eixo : Para encontrar, basta calcular .
Então, a função intercepta o eixo no ponto .
Interceptação com o eixo : Resolver .
Portanto, a única interceptação com o eixo também ocorre no ponto .
Passo 4
Vamos verificar se a função tem alguma simetria. Uma função pode ser par, ímpar ou não ter simetria.
Função Par: Se
Função Ímpar: Se
Vamos calcular :
Como , a função é ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem.
Passo 5
Vamos identificar as possíveis assíntotas da função.
Assíntotas Horizontais: Analisamos o limite de quando tende a e .
Como os limites tendem ao infinito e menos infinito, não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Oblíquas: Para verificar, podemos dividir o numerador pelo denominador e ver se sobra um termo linear. Mas, como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2) em apenas um, podemos prever uma assíntota oblíqua.
Na verdade, ao simplificar:
Então, a assíntota oblíqua é .
Passo 6
Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada é zero ou não existe, para identificar possíveis máximos ou mínimos locais.
Primeiro, calculamos a derivada de usando a regra do quociente:
Vamos igualar a derivada a zero:
Só temos solução real para . Então, é um ponto crítico.
Analisando a concavidade ao redor de , vemos que a função tem um mínimo local nesse ponto.
Passo 7
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função :
Domínio: Todos os reais
Interceptação: Apenas no ponto
Simetria: Ímpar, simétrica em relação à origem
Assíntota Oblíqua:
Ponto Crítico: Mínimo local em
Comportamento:
Quando ,
Quando ,
Com esses elementos, podemos desenhar o gráfico da função, traçando a assíntota oblíqua e plotando os pontos e comportamentos identificados.
Resposta
O gráfico da função intercepta o ponto , é simétrico em relação à origem, possui uma assíntota oblíqua na reta , tem um mínimo local no ponto e tende a infinito positivo quando vai para e a infinito negativo quando vai para . Com base nessas características, o gráfico pode ser desenhado conforme descrito.