Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções, como domínio, interceptos, simetrias, derivadas para encontrar pontos críticos e entender o comportamento da função. Vamos precisar seguir alguns passos para identificar todas essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função racional, que é o caso da nossa função
, inclui todos os valores de
para os quais o denominador não é zero.
Então, temos:
Como
sempre é positivo ou zero,
nunca será zero. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos
e
.
- Interceptação com o eixo
: Para encontrar, basta calcular .
Então, a função intercepta o eixo
no ponto
.
- Interceptação com o eixo
: Resolver .
Portanto, a única interceptação com o eixo
também ocorre no ponto
.
Passo 4
Vamos verificar se a função tem alguma simetria. Uma função pode ser par, ímpar ou não ter simetria.
- Função Par: Se
- Função Ímpar: Se
Vamos calcular
:
Como
, a função é ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem.
Passo 5
Vamos identificar as possíveis assíntotas da função.
- Assíntotas Horizontais: Analisamos o limite de
quando tende a e .
Como os limites tendem ao infinito e menos infinito, não há assíntotas horizontais.
- Assíntotas Oblíquas: Para verificar, podemos dividir o numerador pelo denominador e ver se sobra um termo linear. Mas, como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2) em apenas um, podemos prever uma assíntota oblíqua.
Na verdade, ao simplificar:
Então, a assíntota oblíqua é
.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada é zero ou não existe, para identificar possíveis máximos ou mínimos locais.
Primeiro, calculamos a derivada de
usando a regra do quociente:
Vamos igualar a derivada a zero:
Só temos solução real para
. Então,
é um ponto crítico.
Analisando a concavidade ao redor de
, vemos que a função tem um mínimo local nesse ponto.
Passo 7
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio: Todos os reais
- Interceptação: Apenas no ponto
- Simetria: Ímpar, simétrica em relação à origem
- Assíntota Oblíqua:
- Ponto Crítico: Mínimo local em
- Comportamento:
- Quando
, - Quando
,
- Quando
Com esses elementos, podemos desenhar o gráfico da função, traçando a assíntota oblíqua e plotando os pontos e comportamentos identificados.
Resposta
O gráfico da função
intercepta o ponto
, é simétrico em relação à origem, possui uma assíntota oblíqua na reta
, tem um mínimo local no ponto
e tende a infinito positivo quando
vai para
e a infinito negativo quando
vai para
. Com base nessas características, o gráfico pode ser desenhado conforme descrito.