lim x 1 x^x-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e racionais. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica útil quando encontramos formas indeterminadas como 0/0.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 1^1 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada 0/0, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se limx to c f'(x)g'(x) resulta em 0/0 ou ∞/∞, então podemos calcular o limite das derivadas:
f'(x) = x^x (ln x + 1)
No nosso caso, g'(x) = 1 e . Vamos derivar cada um:
Para , usamos a derivada de uma função exponencial com base variável:
E para , a derivada é simples:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 1 x^x (ln x + 1)1
Simplificando:
lim x 1 x^x (ln x + 1)
Vamos calcular cada parte separadamente:
  • 1 times (0 + 1) = 1 quando é .
  • quando é .
Então:

Resposta

O limite é igual a 1.

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