Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e racionais. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica útil quando encontramos formas indeterminadas como 0/0.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada 0/0, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se
resulta em 0/0 ou ∞/∞, então podemos calcular o limite das derivadas:
No nosso caso,
e
. Vamos derivar cada um:
Para
, usamos a derivada de uma função exponencial com base variável:
E para
, a derivada é simples:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
Simplificando:
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
quando é . -
quando é .
Então:
Resposta
O limite
é igual a 1.