Considere o grupo do item 7. Quais dos subconjuntos de são subgrupos?
O subconjunto das matrizes triangulares superiores, com todos elementos diagonal diferente de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o grupo , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais que são invertíveis. O problema quer saber quais subconjuntos desse grupo também são subgrupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e verificar se o subconjunto das matrizes triangulares superiores com diagonais diferentes de zero satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo. Um subgrupo é um subconjunto de um grupo que, por si só, também forma um grupo com a mesma operação. Isso significa que para um subconjunto ser um subgrupo, ele precisa atender a três condições:
Fechamento: O produto de quaisquer dois elementos do subconjunto também está no subconjunto.
Elemento identidade: O elemento identidade do grupo original está no subconjunto.
Inversos: Para todo elemento no subconjunto, o inverso desse elemento também está no subconjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o subconjunto das matrizes triangulares superiores com diagonais diferentes de zero. Uma matriz triangular superior é aquela em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Além disso, se todas as entradas da diagonal principal são diferentes de zero, a matriz é invertível, ou seja, pertence a .
Passo 4
Vamos verificar se esse subconjunto satisfaz as três condições de subgrupo:
Fechamento: Se multiplicarmos duas matrizes triangulares superiores, o resultado também será uma matriz triangular superior. Além disso, se as diagonais das duas matrizes são diferentes de zero, a diagonal da matriz resultante também será diferente de zero, pois o produto dos elementos diagonais será diferente de zero.
Elemento identidade: A matriz identidade é uma matriz triangular superior, e todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, que é diferente de zero. Portanto, a identidade está no subconjunto.
Inversos: A inversa de uma matriz triangular superior com diagonais diferentes de zero também é uma matriz triangular superior com diagonais diferentes de zero. Isso ocorre porque durante o processo de inversão, a estrutura triangular é preservada e os elementos diagonais permanecem não nulos.
Resposta
O subconjunto das matrizes triangulares superiores com todas as entradas diagonais diferentes de zero é um subgrupo de .