Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos lembrar que, pra ser um subespaço de , ele precisa:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Ser fechado sob adição vetorial.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Se isolarmos igual a 0 na definição de , temos:
Então, o vetor zero está em . Isso confirma a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição vetorial. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer de , a soma deles também deve estar em . Sejam e em . Somando os dois:
Como é um número real, também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar , o resultado também deve estar em . Sejam em e um escalar. Multiplicando:
Como é um número real, também pertence a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço do espaço vetorial .

Exercícios relacionados

Encontre a integral indefinida da função em relação a e assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
Em , mantenhamos a definição do produto de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma dos vetores e . Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1) ;
(2) ;
(3) .
Sejam um espaço vetorial e . O segmento de reta de extremidades é, por definição, o conjunto
Um conjunto chama-se convexo quando . (Ou seja: o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de está contido em X.) Prove:
(a) interseção de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
(b) Dados a,b,c , o conjunto é convexo em .
© O conjunto a d} é convexo em .
(d) Seja convexo. Se , t são números reais tais que então .
(e) Generalizando o resultado acima, a expressão , onde são e chama-se uma combinação convexa dos vetores . Se o conjunto é convexo, prove que toda combinação convexa de vetores ainda pertence a X.
Assinale a alternativa que descreve o uso de modos de citação de discurso alheio na construção do texto.
a) O texto reproduz a palestra de Manuel da Costa Pinto por meio de citação direta, não interferindo assim no conteúdo do que foi apresentado pelo crítico literário.
b) O texto transcreve trechos da referida palestra e adiciona a eles informações extratextuais como as referências às obras literárias e comentário do(a) resenhista.
c) O texto sintetiza o conteúdo de uma palestra, mesclando discursos direto e indireto para apresentar o caminho argumentativo desenvolvido pelo palestrante.
d) O texto articula citações diretas e paráfrases da palestra a comentários do(a) autor(a) da resenha; estes funcionam como costura crítica à fala do palestrante.