Verifique se o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
(e) W=(x, x, x): x in R, V=R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos lembrar que, pra ser um subespaço de , ele precisa:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Ser fechado sob adição vetorial.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se (x, x, x) = (0, 0, 0) contém o vetor zero. O vetor zero em é . Se isolarmos igual a 0 na definição de , temos:
Então, o vetor zero está em . Isso confirma a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos checar se u + v = (x + y, x + y, x + y) é fechado sob adição vetorial. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer de , a soma deles também deve estar em . Sejam e em . Somando os dois:
Como é um número real, também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot u = (c x, c x, c x) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar , o resultado também deve estar em . Sejam em e um escalar. Multiplicando:
Como é um número real, também pertence a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço do espaço vetorial .

Exercícios relacionados