Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos lembrar que, pra
ser um subespaço de
, ele precisa:
- Contém o vetor zero.
- Ser fechado sob adição vetorial.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Se isolarmos
igual a 0 na definição de
, temos:
Então, o vetor zero está em
. Isso confirma a primeira condição.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição vetorial. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
. Sejam
e
em
. Somando os dois:
Como
é um número real,
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um escalar
, o resultado também deve estar em
. Sejam
em
e
um escalar. Multiplicando:
Como
é um número real,
também pertence a
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.