Encontre a integral indefinida da função p(x)=4 x^3-2 raizx+1 / x em relação a x e assinale a alternativa correta.
a) x^4-(43) x^32+ln (x)
b) x^4+(23) x^32+ln (x)
c) 3 x^4-4 x^32+x ln (x)
d) 4 x^4+2 raizx+ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a integral indefinida da função em relação a . A gente vai usar o conteúdo de integração de funções polinomiais e funções que envolvem raízes e logaritmos. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas básicas de integrais e aplicar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração:
p(x) = 4x^3 - 2x^1/2 + x^-1
Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a fórmula da potência para integrais:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde .

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo integral 4x^3 , dx = 4 cdot x^44 = x^4 :
Aqui, aumentamos o expoente de 3 para 4 e dividimos pelo novo expoente.

Passo 4

Agora, o segundo termo integral -2x^1/2 , dx = -2 cdot x^3/23/2 = -43x^3/2 :
Multiplicamos pelo coeficiente e aplicamos a fórmula da potência.

Passo 5

Por último, o terceiro termo integral 1x , dx = ln|x| , que é igual a :
Essa integral é especial e resulta no logaritmo natural de .

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida é:
integral p(x) , dx = x^4 - 43x^3/2 + ln(x) + C
Comparando com as alternativas, a correta é a letra a):
a) x^4 - (43) x^32 + ln (x)

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