Sejam e Mostre que para todo em seus domínios. Podemos concluir a partir do Corolário 7 que é constante?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. Temos duas funções, e que é igual a quando e igual a quando . A ideia é mostrar que as derivadas dessas duas funções, e , são iguais para todo nos seus domínios. Depois, queremos saber se, a partir do Corolário 7, podemos concluir que é uma função constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivação e propriedades de funções deriváveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Sabemos que . A derivada de é . Isso vem da regra de derivação para potências, onde . Aqui, , então .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . A função tem duas partes, dependendo de :
  • Para , . A derivada aqui é a mesma de , ou seja, .
  • Para , . A derivada de uma constante é zero, então a derivada dessa parte é .

Passo 4

Observamos que, tanto para quanto para , , que é exatamente igual a . Portanto, mostramos que para todo nos domínios das funções.

Passo 5

Agora, vamos analisar se é constante usando o Corolário 7. Esse corolário geralmente está relacionado ao teorema fundamental do cálculo, que diz que se duas funções têm a mesma derivada em um intervalo aberto, elas diferem por uma constante nesse intervalo.
Nesse caso, como para todo em seus domínios (exceto possivelmente em , que não está no domínio de nem de ), podemos concluir que é uma função constante em cada intervalo onde está definida de forma contínua.
Para , .
Para , .
Portanto, é constante em cada intervalo separado por , mas não em todo o domínio conjuntamente, já que os valores constantes são diferentes (0 para e -1 para ).

Resposta

Sim, para todo em seus domínios, e a partir do Corolário 7, podemos concluir que é constante em cada intervalo separado por .

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