Sejam
e
Mostre que
para todo
em seus domínios. Podemos concluir a partir do Corolário 7 que
é constante?
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. Temos duas funções,
e
que é igual a
quando
e igual a
quando
. A ideia é mostrar que as derivadas dessas duas funções,
e
, são iguais para todo
nos seus domínios. Depois, queremos saber se, a partir do Corolário 7, podemos concluir que
é uma função constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivação e propriedades de funções deriváveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que
. A derivada de
é
. Isso vem da regra de derivação para potências, onde
. Aqui,
, então
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. A função
tem duas partes, dependendo de
:
-
Para
, . A derivada aqui é a mesma de , ou seja, . -
Para
, . A derivada de uma constante é zero, então a derivada dessa parte é .
Passo 4
Observamos que, tanto para
quanto para
,
, que é exatamente igual a
. Portanto, mostramos que
para todo
nos domínios das funções.
Passo 5
Agora, vamos analisar se
é constante usando o Corolário 7. Esse corolário geralmente está relacionado ao teorema fundamental do cálculo, que diz que se duas funções têm a mesma derivada em um intervalo aberto, elas diferem por uma constante nesse intervalo.
Nesse caso, como
para todo
em seus domínios (exceto possivelmente em
, que não está no domínio de
nem de
), podemos concluir que
é uma função constante em cada intervalo onde
está definida de forma contínua.
Para
,
.
Para
,
.
Portanto,
é constante em cada intervalo separado por
, mas não em todo o domínio conjuntamente, já que os valores constantes são diferentes (0 para
e -1 para
).
Resposta
Sim,
para todo
em seus domínios, e a partir do Corolário 7, podemos concluir que
é constante em cada intervalo separado por
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam contínuas em
e deriváveis em
. Suponha também que
e
para
. Prove que
. [Dica: Aplique o Teorema do Valor Médio para a função
.]
(a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três soluções reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau tem, no máximo,
soluções reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau
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