Suponha que
e
sejam contínuas em
e deriváveis em
. Suponha também que
e
para
. Prove que
. [Dica: Aplique o Teorema do Valor Médio para a função
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções,
e
, que são contínuas no intervalo
e deriváveis dentro dele, ou seja, em
. A gente sabe também que no ponto inicial
, ambas são iguais:
. Além disso, a derivada de
é menor que a derivada de
em todo ponto entre
e
:
para
. O que a gente precisa provar é que no final do intervalo,
, a função
está abaixo de
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio aplicado à função
. A ideia é entender como essa diferença entre as funções se comporta ao longo do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma nova função
. Essa função
também será contínua em
e derivável em
, já que é a diferença de duas funções que têm essas propriedades.
Passo 3
No ponto inicial
, temos que
. Então,
. Nosso objetivo é mostrar que
, ou seja, que
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio na função
no intervalo
. Esse teorema diz que existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada de
é igual à variação média de
no intervalo:
Sabemos que
, então a equação fica:
Passo 5
Vamos calcular
. Como
, temos:
Dado que
para todo
em
, então:
Isso significa que
.
Passo 6
Voltando à equação do Teorema do Valor Médio:
Como
(porque
), para que a fração seja negativa,
deve ser negativo:
Ou seja:
Resposta
Concluímos que
.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três soluções reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau tem, no máximo,
soluções reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau
Sejam
e
Mostre que
para todo
em seus domínios. Podemos concluir a partir do Corolário 7 que
é constante?
Estudar a seção toda. Esta é uma seção muito importante, recomendo fortemente assistir a video-aula do Prof. Fábio Dorini sobre este assunto.