Suponha que f e g sejam contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Suponha também que f(a) = g(a) e f'(x) < g'(x) para a < x < b. Prove que f(b) < g(b). [Dica: Aplique o Teorema do Valor Médio para a função h = f - g.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, e , que são contínuas no intervalo e deriváveis dentro dele, ou seja, em . A gente sabe também que no ponto inicial , ambas são iguais: . Além disso, a derivada de é menor que a derivada de em todo ponto entre e : para . O que a gente precisa provar é que no final do intervalo, , a função está abaixo de , ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio aplicado à função . A ideia é entender como essa diferença entre as funções se comporta ao longo do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função . Essa função também será contínua em e derivável em , já que é a diferença de duas funções que têm essas propriedades.

Passo 3

No ponto inicial , temos que . Então, . Nosso objetivo é mostrar que , ou seja, que .

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio na função no intervalo . Esse teorema diz que existe pelo menos um ponto em onde a derivada de é igual à variação média de no intervalo:
Sabemos que , então a equação fica:

Passo 5

Vamos calcular . Como , temos:
Dado que para todo em , então:
Isso significa que .

Passo 6

Voltando à equação do Teorema do Valor Médio:
Como (porque ), para que a fração seja negativa, deve ser negativo:
Ou seja:

Resposta

Concluímos que .

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