Sejam f(x) = x^2 * sen(1/x) e g(x) = x. Por que estes fatos não contrariam a regra de l

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas funções: e . A pergunta é por que essas funções não contradizem a regra de L’Hôpital. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a regra de L’Hôpital e como aplicá-la a essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra de L’Hôpital. Essa regra é usada para calcular limites que inicialmente dão uma forma indeterminada, como ou . Ela diz que, nesses casos, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas.

Passo 3

Vamos analisar o limite de quando tende a 0:
Simplificando, temos:
Sabemos que é uma função oscilante que está sempre entre -1 e 1. Portanto, está entre e , que ambos tendem a 0 quando tende a 0. Então, pelo Teorema do Sandu��che, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra de L’Hôpital para verificar. Primeiro, confirmamos que temos uma forma quando tende a 0:
ãáé
Então, podemos usar a regra de L’Hôpital. Derivando e :
Agora, calculamos o limite das derivadas:
Aqui, tende a 0 e oscila entre -1 e 1, mas multiplicado por tende a 0. Portanto, o limite também é 0.

Passo 5

Como aplicamos a regra de L’Hôpital e obtivemos o mesmo resultado que calculamos diretamente, não há contradição. A regra funciona perfeitamente nesse caso porque as condições para aplicá-la foram satisfeitas e o limite foi corretamente calculado.

Resposta

As funções e não contrariam a regra de L’Hôpital porque, ao aplicá-la, obtemos o mesmo limite que calculamos diretamente, confirmando que a regra é válida nesse contexto.

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
d h(t) = t - e^(-t)
a. h(t) = t * e^(-2 * t).
Calcule os seguintes limites (caso existam). Deve identificar a indeterminação.
b lim x 0 2 x arctg(x)-ln (x^2+1)x^2.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
a.h(t) = t * e^(-2 * t)