Sejam
e
. Por que estes fatos não contrariam a regra de l
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
e
. A pergunta é por que essas funções não contradizem a regra de L’Hôpital. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a regra de L’Hôpital e como aplicá-la a essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a regra de L’Hôpital. Essa regra é usada para calcular limites que inicialmente dão uma forma indeterminada, como
ou
. Ela diz que, nesses casos, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas.
Passo 3
Vamos analisar o limite de
quando
tende a 0:
Simplificando, temos:
Sabemos que
é uma função oscilante que está sempre entre -1 e 1. Portanto,
está entre
e
, que ambos tendem a 0 quando
tende a 0. Então, pelo Teorema do Sandu��che, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra de L’Hôpital para verificar. Primeiro, confirmamos que temos uma forma
quando
tende a 0:
Então, podemos usar a regra de L’Hôpital. Derivando
e
:
Agora, calculamos o limite das derivadas:
Aqui,
tende a 0 e
oscila entre -1 e 1, mas multiplicado por
tende a 0. Portanto, o limite também é 0.
Passo 5
Como aplicamos a regra de L’Hôpital e obtivemos o mesmo resultado que calculamos diretamente, não há contradição. A regra funciona perfeitamente nesse caso porque as condições para aplicá-la foram satisfeitas e o limite foi corretamente calculado.
Resposta
As funções
e
não contrariam a regra de L’Hôpital porque, ao aplicá-la, obtemos o mesmo limite que calculamos diretamente, confirmando que a regra é válida nesse contexto.
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Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
a.
.
Calcule os seguintes limites (caso existam). Deve identificar a indeterminação.
.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h: