Calcule os seguintes limites (caso existam). Deve identificar a indeterminação.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites e indeterminações. Para resolver, vamos precisar identificar a forma indeterminada e aplicar técnicas como a regra de L’Hôpital ou expansão em séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver se conseguimos determinar o limite diretamente:
Essa forma
é uma indeterminação, o que significa que precisamos de uma abordagem diferente para achar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação do tipo
, uma das técnicas que podemos usar é a regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
desde que o novo limite exista.
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, identificamos
e
. Agora, vamos derivar
e
:
Derivada de
:
Derivada de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Sabemos que
se aproxima de
quando
está próximo de 0, então o limite simplifica para:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Por que estes fatos não contrariam a regra de l
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
a.