Calcule os seguintes limites (caso existam). Deve identificar a indeterminação.
b lim x 0 2 x arctg(x)-ln (x^2+1)x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites e indeterminações. Para resolver, vamos precisar identificar a forma indeterminada e aplicar técnicas como a regra de L’Hôpital ou expansão em séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2 cdot 0 cdot arctg(0) - ln(0^2 + 1)0^2 = 0 - ln(1)0 = 0 - 00 = 00 na expressão para ver se conseguimos determinar o limite diretamente:
Essa forma é uma indeterminação, o que significa que precisamos de uma abordagem diferente para achar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação do tipo limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma das técnicas que podemos usar é a regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
desde que o novo limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, identificamos g'(x) = 2x e f'(x) = 2 cdot arctg(x) + 2x cdot 11 + x^2 - 2xx^2 + 1 . Agora, vamos derivar f'(x) = 2 cdot arctg(x) e :
Derivada de :
Derivada de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx 0 f'(x)g'(x) = limx 0 2 cdot arctg(x)2x = limx 0 arctg(x)x
Sabemos que limx 0 xx = 1 se aproxima de quando está próximo de 0, então o limite simplifica para:

Resposta

O limite é igual a .

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