Se
, prove que
satisfaz a equação diferencial parcial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A função dada é
, onde
é uma função de uma única variável, que no caso é o produto de
e
. O conteúdo envolvido aqui é de derivadas parciais e equações diferenciais parciais. Para provar que
satisfaz a equação
, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
e, depois, substituir esses valores na equação para verificar se ela se iguala a zero.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Como
, e
é tratado como uma constante quando diferenciamos em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao seu argumento
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Da mesma forma,
é tratado como uma constante ao diferenciar em relação a
:
Novamente,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, substituímos esses valores na equação dada:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação diferencial parcial
.
Exercícios relacionados
Sejam
sen
e
. Determine: O plano tangente a esta superfície em
.
Sejam
sen
e
. Determine: A reta normal em
à superfície de nível de
que passa por
;
Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva, dada por
, é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?
Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de