Se , prove que satisfaz a equação diferencial parcial

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A função dada é , onde é uma função de uma única variável, que no caso é o produto de e . O conteúdo envolvido aqui é de derivadas parciais e equações diferenciais parciais. Para provar que satisfaz a equação , vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a e, depois, substituir esses valores na equação para verificar se ela se iguala a zero.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Como , e é tratado como uma constante quando diferenciamos em relação a , usamos a regra da cadeia:
Aqui, representa a derivada de em relação ao seu argumento .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Da mesma forma, é tratado como uma constante ao diferenciar em relação a :
Novamente, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, substituímos esses valores na equação dada:
Simplificando:

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação diferencial parcial .

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