Se u(x, y)=f(x y), prove que u satisfaz a equação diferencial parcial
x partial upartial x-y partial upartial y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A função dada é , onde é uma função de uma única variável, que no caso é o produto de e . O conteúdo envolvido aqui é de derivadas parciais e equações diferenciais parciais. Para provar que satisfaz a equação , vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a e, depois, substituir esses valores na equação para verificar se ela se iguala a zero.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de partial upartial x = f'(xy) cdot y em relação a . Como , e é tratado como uma constante quando diferenciamos em relação a , usamos a regra da cadeia:
Aqui, representa a derivada de em relação ao seu argumento .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial y = f'(xy) cdot x em relação a . Da mesma forma, é tratado como uma constante ao diferenciar em relação a :
Novamente, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, substituímos esses valores na equação dada:
x cdot partial upartial x - y cdot partial upartial y = x cdot ( f'(xy) cdot y ) - y cdot ( f'(xy) cdot x )
Simplificando:
x cdot f'(xy) cdot y - y cdot f'(xy) cdot x = f'(xy) cdot xy - f'(xy) cdot xy = 0

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação diferencial parcial .

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