Seja
função
periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por
.
b) Suponha
contínua e
contínua por partes e seja
sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de
.
b) Suponha
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é
-periódica e contínua por partes, e sua série de Fourier está dada por . A parte (b) da questão nos pede para considerar a derivada dessa função,
, que também é contínua por partes, e expressar os coeficientes da série de Fourier de
, ou seja,
e
, em termos dos coeficientes
e
de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma série de Fourier termo a termo e relacionar os coeficientes resultantes.
Passo 2
Vamos começar derivando a série de Fourier de
termo a termo. A derivada de
, que é
, terá sua própria série de Fourier, que é . Para encontrar
e
, vamos derivar cada termo da série original
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Como a derivada de uma constante é zero, o termo
desaparece. Agora, vamos derivar os termos envolvendo
e .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Então, a derivada da série fica:
Passo 5
Comparando isso com a forma geral da série de Fourier de
:
Podemos igualar os coeficientes correspondentes dos termos de
e .
Passo 6
Da comparação, observamos que:
E como a constante na derivada é zero (já que não há termo constante na derivada), temos:
Resposta
Os coeficientes da série de Fourier de
são dados por:
Exercícios relacionados
Dada a função
, encontre UMA FUNÇÃO cuja série de Fourier em senos convirja para
para todo
.
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , onde
a)
Sejam as funções abaixo:
a) , para
a)
Sejam as funções abaixo:
a) , para
.
a)