Seja função periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por .
b) Suponha contínua e contínua por partes e seja sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é -periódica e contínua por partes, e sua série de Fourier está dada por . A parte (b) da questão nos pede para considerar a derivada dessa função, , que também é contínua por partes, e expressar os coeficientes da série de Fourier de , ou seja, e , em termos dos coeficientes e de . Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma série de Fourier termo a termo e relacionar os coeficientes resultantes.

Passo 2

Vamos começar derivando a série de Fourier de termo a termo. A derivada de , que é , terá sua própria série de Fourier, que é . Para encontrar e , vamos derivar cada termo da série original .

Passo 3

Derivando em relação a , temos:
Como a derivada de uma constante é zero, o termo desaparece. Agora, vamos derivar os termos envolvendo e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Então, a derivada da série fica:

Passo 5

Comparando isso com a forma geral da série de Fourier de :
Podemos igualar os coeficientes correspondentes dos termos de e .

Passo 6

Da comparação, observamos que:
E como a constante na derivada é zero (já que não há termo constante na derivada), temos:

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier de são dados por:

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Dada a função , encontre UMA FUNÇÃO cuja série de Fourier em senos convirja para para todo .
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , onde
Sejam as funções abaixo:
a) , para
Sejam as funções abaixo:
a) , para .