Seja f(x) função 2 pi periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por Sf(x)=a02+sumn=1^infty an cos n x+bn sen n x.
b) Suponha f contínua e f^prime contínua por partes e seja Sf^prime(x)=A02+sumn=1^infty An cos n x+Bn sen n x sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de f.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x) que é 2pi-periódica e contínua por partes, e sua série de Fourier está dada por . A parte (b) da questão nos pede para considerar a derivada dessa função, Sf(x)=a02+sumn=1^infty (an cos nx + bn sen nx), que também é contínua por partes, e expressar os coeficientes da série de Fourier de f'(x), ou seja, f'(x) e An, em termos dos coeficientes Bn e an de bn. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma série de Fourier termo a termo e relacionar os coeficientes resultantes.

Passo 2

Vamos começar derivando a série de Fourier de f(x) termo a termo. A derivada de f(x), que é f'(x), terá sua própria série de Fourier, que é . Para encontrar Sf'(x)=A02+sumn=1^infty (An cos nx + Bn sen nx) e An, vamos derivar cada termo da série original Bn.

Passo 3

Derivando Sf(x) em relação a x, temos:
Como a derivada de uma constante é zero, o termo ddx Sf(x) = ddx(a02) + sumn=1^infty ( ddx (an cos nx) + ddx (bn sen nx) ) desaparece. Agora, vamos derivar os termos envolvendo a02 e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Então, a derivada da série fica:

Passo 5

Comparando isso com a forma geral da série de Fourier de f'(x):
Podemos igualar os coeficientes correspondentes dos termos de Sf'(x)=A02+sumn=1^infty (An cos nx + Bn sen nx) e .

Passo 6

Da comparação, observamos que:
An = bn n
Bn = -an n
E como a constante na derivada é zero (já que não há termo constante na derivada), temos:
A0 = 0

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier de f'(x) são dados por:
A0 = 0
An = bn cdot n e Bn = -an cdot n para todo n >= 1

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