Um sólido
tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base 2 e altura 5 (considere sua base sob o plano
e centrada na origem). Encontre a massa de
sabendo que a densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância de uma das bases à
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro circular reto com raio 2 e altura 5, posicionado de forma que a base está no plano
e centrada na origem. A missão é encontrar a massa desse cilindro sabendo que a densidade
em cada ponto
é proporcional à distância desse ponto a uma das bases. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas para calcular a massa distribuída em todo o volume do cilindro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a densidade varia dentro do cilindro. A densidade é proporcional à distância de um dos pontos a uma das bases. Vamos considerar que a base inferior do cilindro está no plano
. Assim, a distância de um ponto
a essa base é simplesmente a coordenada
. Portanto, podemos escrever a densidade como:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, para encontrar a massa total
do cilindro, precisamos integrar a densidade por todo o volume do cilindro. A fórmula geral para a massa é:
Substituindo a expressão da densidade:
Passo 4
Vamos escolher coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que estamos lidando com um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, os elementos são:
E o volume diferencial
é:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração para cada variável:
-
varia de 0 a 2 (raio do cilindro). -
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do cilindro). -
varia de 0 a 5 (altura do cilindro).
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Agora, a integral simplifica para:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Portanto, a massa do cilindro é: