Um sólido S tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base 2 e altura 5 (considere sua base sob o plano x y e centrada na origem). Encontre a massa de S sabendo que a densidade delta(x, y, z), no ponto (x, y, z), é diretamente proporcional à distância de uma das bases à (x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro circular reto com raio 2 e altura 5, posicionado de forma que a base está no plano e centrada na origem. A missão é encontrar a massa desse cilindro sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto a uma das bases. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas para calcular a massa distribuída em todo o volume do cilindro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a densidade varia dentro do cilindro. A densidade é proporcional à distância de um dos pontos a uma das bases. Vamos considerar que a base inferior do cilindro está no plano . Assim, a distância de um ponto a essa base é simplesmente a coordenada . Portanto, podemos escrever a densidade como:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora, para encontrar a massa total do cilindro, precisamos integrar a densidade por todo o volume do cilindro. A fórmula geral para a massa é:
Substituindo a expressão da densidade:

Passo 4

Vamos escolher coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que estamos lidando com um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, os elementos são:
E o volume diferencial é:

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração para cada variável:
  • varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (uma volta completa ao redor do cilindro).
  • varia de 0 a 5 (altura do cilindro).
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Integrando em relação a :
Agora, a integral simplifica para:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :
Portanto, a massa do cilindro é:

Resposta

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