1. Sejam (an)n=1^infty e (bn)n=1^infty sequências definidas por an=raizn+1 e bn=raizn. Verifique se (an-bn) converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu limite.
  2. Defina a sequência (an) por a1=1 e an+1=2 raiz4+an para cada a >= 1. Sabendo que 1 para n >= 1, conclua que (an) é convergente (justifique) e calcule o seu limite.
  3. Seja t1=1 e tn+1=tn(1-1(n+1)^2) para todo n >= 1, onde tn=n+12 n. Estude a convergência dessa sequência.
  4. Sejam (sn)n=1^infty e(tn)n=1^infty definidas por sn=raizn+1 e tn=raizn. Mostre que lim n infty(sn-tn)=0.
  5. Apresente um exemplo de séries divergentes sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn tal que sumn=1^infty an+bn converge.
  6. Apresente um exemplo de uma sequência an de números positivos tal que lim n infty an=0, mas a série sumn=1^infty(-1)^n+1 an diverge.
  7. Avalie a série infinita:
    (a) 1-12+14-18+116-ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas sequências: e . A gente precisa descobrir se a sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando vai para o infinito) ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limites e propriedades de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que queremos calcular: . Nosso objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo desse limite, vamos racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir por algo que vai eliminar a raiz no numerador. No caso, multiplicamos e dividimos por raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn = (n+1) - nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn :

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando raizn+1 + raizn approx 2raizn cresce. Tanto quanto crescem sem limites, e para valores grandes de , é praticamente igual a . Então, podemos simplificar o denominador:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão que temos:
1raizn+1 + raizn approx 12raizn
Agora, vamos ver o que acontece com essa expressão quando vai para o infinito.

Passo 6

Quando limn to infty 12raizn = 0 tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto:

Resposta

Assim, concluímos que a sequência limn to infty (raizn+1 - raizn) = 0 converge e seu limite é .

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