- Sejam
e
sequências definidas por
e
. Verifique se
converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu limite.
- Defina a sequência
por
e
para cada
. Sabendo que
para
, conclua que
é convergente (justifique) e calcule o seu limite.
- Seja
e
para todo
, onde
. Estude a convergência dessa sequência.
- Sejam
definidas por
e
. Mostre que
.
- Apresente um exemplo de séries divergentes
e
tal que
converge.
- Apresente um exemplo de uma sequência
de números positivos tal que
, mas a série
diverge.
- Avalie a série infinita:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas sequências:
e
. A gente precisa descobrir se a sequência
converge (ou seja, se ela tem um limite quando
vai para o infinito) ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limites e propriedades de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que queremos calcular:
. Nosso objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo desse limite, vamos racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir por algo que vai eliminar a raiz no numerador. No caso, multiplicamos e dividimos por
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando
cresce. Tanto
quanto
crescem sem limites, e para valores grandes de
,
é praticamente igual a
. Então, podemos simplificar o denominador:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão que temos:
Agora, vamos ver o que acontece com essa expressão quando
vai para o infinito.
Passo 6
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto:
Resposta
Assim, concluímos que a sequência
converge e seu limite é
.
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Use o multiplicador de Lagrange para encontrar os extremos e os valores máximos e minimos da função Sujeita a restrição dada.
Calcule as derivadas, utilizando a def. da derivada:
Resp:
Determine a reta tangente para:
no ponto
(Resp:
Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(h) Se é convergente, então
é convergente.
(h) Se