1. Sejam e sequências definidas por e . Verifique se converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu limite.
  2. Defina a sequência por e para cada . Sabendo que para , conclua que é convergente (justifique) e calcule o seu limite.
  3. Seja e para todo , onde . Estude a convergência dessa sequência.
  4. Sejam definidas por e . Mostre que .
  5. Apresente um exemplo de séries divergentes e tal que converge.
  6. Apresente um exemplo de uma sequência de números positivos tal que , mas a série diverge.
  7. Avalie a série infinita:
    (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas sequências: e . A gente precisa descobrir se a sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando vai para o infinito) ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limites e propriedades de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que queremos calcular: . Nosso objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo desse limite, vamos racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir por algo que vai eliminar a raiz no numerador. No caso, multiplicamos e dividimos por :

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando cresce. Tanto quanto crescem sem limites, e para valores grandes de , é praticamente igual a . Então, podemos simplificar o denominador:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão que temos:
Agora, vamos ver o que acontece com essa expressão quando vai para o infinito.

Passo 6

Quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto:

Resposta

Assim, concluímos que a sequência converge e seu limite é .

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