Use o multiplicador de Lagrange para encontrar os extremos e os valores máximos e minimos da função Sujeita a restrição dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de otimização onde precisamos encontrar os valores máximos e mínimos da função
, mas com uma condição:
. O conteúdo envolvido aqui é o Multiplicador de Lagrange, que é uma técnica usada para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições. Para resolver isso, a gente vai precisar montar e resolver um sistema de equações usando essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Multiplicador de Lagrange. A ideia é que, para encontrar os extremos da função
sujeita à restrição
, a gente cria uma nova função chamada Função de Lagrange:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange. Depois, a gente tira as derivadas parciais dessa função em relação a
,
e
, e iguala tudo a zero. Isso nos dá um sistema de equações que a gente resolve para encontrar os pontos extremos.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso problema. A função que queremos otimizar é
e a restrição é
.
Então, a Função de Lagrange fica:
Agora, vamos tirar as derivadas parciais e igualar a zero:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, temos duas expressões para
:
Como as duas são iguais a
, podemos igualar as duas expressões:
Então, descobrimos que
. Vamos substituir isso na restrição para encontrar os valores de
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
:
Então, os pontos críticos são:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos para encontrar os valores máximos e mínimos.
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo:
no ponto - Mínimo:
no ponto
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas, utilizando a def. da derivada:
Resp:
Encontre a série de Taylor de
em torno de
usando a definição de uma série de Taylor.
- Sejam
e sequências definidas por e . Verifique se converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu limite. - Defina a sequência
por e para cada . Sabendo que para , conclua que é convergente (justifique) e calcule o seu limite. - Seja
e para todo , onde . Estude a convergência dessa sequência. - Sejam
definidas por e . Mostre que . - Apresente um exemplo de séries divergentes
e tal que converge. - Apresente um exemplo de uma sequência
de números positivos tal que , mas a série diverge. - Avalie a série infinita:
(a)
Determine a reta tangente para:
no ponto
(Resp: