Use o multiplicador de Lagrange para encontrar os extremos e os valores máximos e minimos da função Sujeita a restrição dada. F(x, y) = 4x + y ; x^2 + y^2 = 13

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de otimização onde precisamos encontrar os valores máximos e mínimos da função , mas com uma condição: . O conteúdo envolvido aqui é o Multiplicador de Lagrange, que é uma técnica usada para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições. Para resolver isso, a gente vai precisar montar e resolver um sistema de equações usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Multiplicador de Lagrange. A ideia é que, para encontrar os extremos da função sujeita à restrição , a gente cria uma nova função chamada Função de Lagrange:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange. Depois, a gente tira as derivadas parciais dessa função em relação a , e , e iguala tudo a zero. Isso nos dá um sistema de equações que a gente resolve para encontrar os pontos extremos.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso problema. A função que queremos otimizar é e a restrição é .
Então, a Função de Lagrange fica:
Agora, vamos tirar as derivadas parciais e igualar a zero:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, temos duas expressões para :
Como as duas são iguais a , podemos igualar as duas expressões:
Então, descobrimos que . Vamos substituir isso na restrição para encontrar os valores de :

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de :
Então, os pontos críticos são:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos para encontrar os valores máximos e mínimos.
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:

Resposta

Os extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo: no ponto
  • Mínimo: no ponto

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