Calcule as derivadas, utilizando a def. da derivada: Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como uma função muda em relação a suas variáveis. Para isso, vamos precisar aplicar a definição básica de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Isso basicamente nos diz a inclinação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, precisamos calcular :

Passo 4

Vamos expandir os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular :

Passo 6

Em seguida, dividimos esse resultado por :

Passo 7

Finalmente, tiramos o limite quando tende a 0:

Resposta

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Encontre a série de Taylor de em torno de usando a definição de uma série de Taylor.
Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(d) Se limitada, então é convergente.
Use o multiplicador de Lagrange para encontrar os extremos e os valores máximos e minimos da função Sujeita a restrição dada.
  1. Sejam e sequências definidas por e . Verifique se converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu limite.
  2. Defina a sequência por e para cada . Sabendo que para , conclua que é convergente (justifique) e calcule o seu limite.
  3. Seja e para todo , onde . Estude a convergência dessa sequência.
  4. Sejam definidas por e . Mostre que .
  5. Apresente um exemplo de séries divergentes e tal que converge.
  6. Apresente um exemplo de uma sequência de números positivos tal que , mas a série diverge.
  7. Avalie a série infinita:
    (a)