Sejam os intervalos reais A = {x € IR; 3 ≤x≤7), B = {x E IR; -1 < x < 5) e C = (x E IR; 0≤x ≤7). É correto afirmar que:
a) (AnC)-B=AnB
b) (AnC)-B=C-B
c) (AuB)nC=B
d) (AnB) C = A
e) AUBUC=AnC2° A diferença A-B, sendo A = (x € IR; -4 ≤x≤ 3) e B = (x € IR; -2 ≤ x < 5) é igual a:
a) {x € IR; -4 ≤ x < -2}
b) {x € IR; -4 ≤ x ≤ -2}
c) {x € IR; 3 <x<5}
d) {x € IR; 3≤x≤5}
e) {x € IR; -2≤x<5}​

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas questões envolvendo intervalos de números reais e operações com conjuntos. Vamos precisar entender conceitos como união, interseção e diferença de conjuntos. Além disso, vamos usar representações em intervalos para visualizar melhor. Vamos começar com a primeira questão.

Passo 2

Primeira Questão:
Temos os seguintes conjuntos:
  • $ A = {x \in \mathbb{R};\ 3 \leq x \leq 7} $
  • $ B = {x \in \mathbb{R};\ -1 < x < 5} $
  • $ C = {x \in \mathbb{R};\ 0 \leq x \leq 7} $
E precisamos verificar qual das alternativas a), b), c), d) está correta.
Vamos analisar cada opção:
a) A = x in R; 3 <= x <= 7
Primeiro, vamos encontrar $ A \cap C $:
  • $ A \cap C = {x \in \mathbb{R};\ 3 \leq x \leq 7} $ (já que $ A $ está totalmente dentro de $ C $).
Agora, $ (A \cap C) - B $:
  • $ B = {x \in \mathbb{R};\ -1 < x < 5} $
  • Então, $ (A \cap C) - B = {x \in \mathbb{R};\ 5 \leq x \leq 7} $
Agora, $ A \cap B $:
  • $ A = {3 \leq x \leq 7} $
  • $ B = {-1 < x < 5} $
  • A interseção é $ {3 \leq x < 5} $
Claramente, $ (A \cap C) - B \neq A \cap B $. Então, a opção a) está errada.
b) B = x in R; -1 < x < 5
Já sabemos que $ (A \cap C) - B = {5 \leq x \leq 7} $
Agora, $ C - B $:
  • $ C = {0 \leq x \leq 7} $
  • $ B = {-1 < x < 5} $
  • Então, $ C - B = {0 \leq x \leq 7} - {-1 < x < 5} = {0 \leq x \leq 5} \cup {5 \leq x \leq 7} - {-1 < x < 5} = {5 \leq x \leq 7} $
Portanto, $ (A \cap C) - B = C - B $. A opção b) está correta.
c) C = x in R; 0 <= x <= 7
Vamos calcular $ A \cup B $:
  • $ A = {3 \leq x \leq 7} $
  • $ B = {-1 < x < 5} $
  • $ A \cup B = {-1 < x < 7} $
Agora, $ (A \cup B) \cap C $:
  • $ C = {0 \leq x \leq 7} $
  • Então, $ {-1 < x < 7} \cap {0 \leq x \leq 7} = {0 \leq x < 7} $
Comparando com $ B = {-1 < x < 5} $, não são iguais. Então, a opção c) está errada.
d) (A cap C) - B = A cap B
Calculemos $ A \cap B $:
  • $ A \cap B = {3 \leq x < 5} $
Agora, $ (A \cap B) \cup C $:
  • $ C = {0 \leq x \leq 7} $
  • Então, $ {3 \leq x < 5} \cup {0 \leq x \leq 7} = {0 \leq x \leq 7} $
Comparando com $ A = {3 \leq x \leq 7} $, não são iguais. A opção d) está errada.

Passo 3

Segunda Questão:
Queremos encontrar a diferença dos conjuntos $ A - B $, onde:
  • $ A = {x \in \mathbb{R};\ -4 \leq x \leq 3} $
  • $ B = {x \in \mathbb{R};\ -2 \leq x < 5} $
Vamos entender a diferença $ A - B $:
Isso significa todos os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $.
Visualizando os intervalos:
  • $ A $ vai de -4 a 3.
  • $ B $ vai de -2 a 5.
Então, $ A - B $ serão os valores de $ A $ que são menores que -2, já que de -2 a 3, $ A $ está dentro de $ B $.
Portanto, $ A - B = {x \in \mathbb{R};\ -4 \leq x < -2} $

Resposta

Primeira Questão: A alternativa b) está correta.
Segunda Questão: A diferença $ A - B $ é $ {x \in \mathbb{R};\ -4 \leq x < -2} $, ou seja, a opção a).

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