Vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e operadores lineares. Basicamente, temos um operador linear que, quando aplicado a qualquer vetor não-nulo do espaço , retorna esse vetor multiplicado por um escalar (chamado de autovalor). Nosso objetivo é mostrar que, se dois vetores e são linearmente independentes e têm autovalores e respectivamente, e a soma desses vetores também é um autovetor com autovalor , então necessariamente . Para resolver isso, vamos usar conceitos de operadores lineares, autovetores, e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que sabemos sobre o operador :
Além disso, sabemos que:
Como é linear, podemos aplicar a linearidade:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Como e são vetores linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é que os coeficientes sejam zero: