Sejam K um corpo (com K=R ou K=C ), V um espaço vetorial sobre K e T: V V um operador linear. Suponha que todo vetor não-nulo de V é um autovetor de T. Mostre que se v1, v2 in V são linearmente independentes e lambda1, lambda2 in K são tais que T(v1)=lambda1 v1 e T(v2)=lambda2 v2 © T(v1+v2)=lambda(v1+v2), então lambda1=lambda2=lambda. Boa prova!

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e operadores lineares. Basicamente, temos um operador linear que, quando aplicado a qualquer vetor não-nulo do espaço , retorna esse vetor multiplicado por um escalar (chamado de autovalor). Nosso objetivo é mostrar que, se dois vetores e são linearmente independentes e têm autovalores e respectivamente, e a soma desses vetores também é um autovetor com autovalor , então necessariamente . Para resolver isso, vamos usar conceitos de operadores lineares, autovetores, e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que sabemos sobre o operador T(v1) = lambda1 v1 e T(v2) = lambda2 v2 :
T(v1 + v2) = lambda (v1 + v2)
Além disso, sabemos que:
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = lambda1 v1 + lambda2 v2
Como lambda1 v1 + lambda2 v2 = lambda (v1 + v2) = lambda v1 + lambda v2 é linear, podemos aplicar a linearidade:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação:
lambda1 v1 + lambda2 v2 - lambda v1 - lambda v2 = 0
Isso pode ser escrito como:
(lambda1 - lambda) v1 + (lambda2 - lambda) v2 = 0
Como lambda1 - lambda = 0 e lambda2 - lambda = 0 e lambda1 = lambda e lambda2 = lambda são vetores linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:

Resposta

Portanto, .

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Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se T: R^2 R^2 possui autovetores v1=(-2,1) e v2=(3,1) associados aos autovalores lambda1=3 e lambda2=-1, respectivamente, então T(-1,3)=(-15,3).
Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+283 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=6, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cn infty xn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 28 / 3 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 28 / 3]^n v1.
(A) 5
(B) 6
© 4
(D) 8
(E) 3
(F) 7
(G) 2
(H) 9
(I) Não sei
Expresse a função indicada na forma f(z)=u+i v.
c) f(z)=z^3-4 z
Expresse a função indicada na forma f(z)=u+i v.
b) f(z)=3 barz^2+2 z