Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se possui autovetores e associados aos autovalores e , respectivamente, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma transformação linear que leva vetores do plano para ele mesmo. A gente tem dois autovetores e com autovalores e , respectivamente. A questão quer saber se, aplicando no vetor , o resultado é . Para resolver isso, vamos precisar entender como os autovalores e autovetores funcionam e como usar a linearidade da transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovetor de uma transformação linear é um vetor que, quando é aplicada a ele, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor. Ou seja, . Isso significa que, se soubermos os autovetores e seus autovalores, podemos facilmente aplicar a combinações desses autovetores.
Passo 3
Como é linear, qualquer vetor no plano , incluindo , pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores e . Vamos encontrar constantes e tais que:
Isso nos permite expressar em termos dos autovetores de .
Passo 4
Vamos montar as equações a partir das componentes:
Resolvendo a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Passo 5
Agora que sabemos que , podemos aplicar a esse vetor usando a linearidade: