Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se T: R^2 R^2 possui autovetores v1=(-2,1) e v2=(3,1) associados aos autovalores lambda1=3 e lambda2=-1, respectivamente, então T(-1,3)=(-15,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma transformação linear que leva vetores do plano para ele mesmo. A gente tem dois autovetores e com autovalores e , respectivamente. A questão quer saber se, aplicando no vetor , o resultado é . Para resolver isso, vamos precisar entender como os autovalores e autovetores funcionam e como usar a linearidade da transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovetor de uma transformação linear é um vetor que, quando é aplicada a ele, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor . Ou seja, . Isso significa que, se soubermos os autovetores e seus autovalores, podemos facilmente aplicar a combinações desses autovetores.

Passo 3

Como a cdot (-2, 1) + b cdot (3, 1) = (-1, 3) é linear, qualquer vetor no plano , incluindo , pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores e . Vamos encontrar constantes e tais que:
Isso nos permite expressar em termos dos autovetores de .

Passo 4

Vamos montar as equações a partir das componentes:
-2a + 3b = -1 (componente x)
a + b = 3 (componente y)
Resolvendo a segunda equação para a = 3 - b :
-2(3 - b) + 3b = -1 -6 + 2b + 3b = -1 5b = 5 b = 1
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 5

Agora que sabemos que T(-1, 3) = 2T(v1) + 1T(v2) , podemos aplicar T(-1, 3) = 2(-6, 3) + 1(-3, -1) = (-12, 6) + (-3, -1) = (-15, 5) a esse vetor usando a linearidade:
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

Falso. resulta em , não .

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Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+283 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=6, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cn infty xn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 28 / 3 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 28 / 3]^n v1.
(A) 5
(B) 6
© 4
(D) 8
(E) 3
(F) 7
(G) 2
(H) 9
(I) Não sei
Sabemos que existe P inversivel tal que:
[rrr -5 & -7 & -2 2 & 4 & 2 2 & 1 & -1 ]=P[rrr -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l4 * 1]
(B) [l4 0 4]
© [l4 * 3]
(D) [l4 * 2]
(E) Não sei
Sejam K um corpo (com K=R ou K=C ), V um espaço vetorial sobre K e T: V V um operador linear. Suponha que todo vetor não-nulo de V é um autovetor de T. Mostre que se v1, v2 in V são linearmente independentes e lambda1, lambda2 in K são tais que T(v1)=lambda1 v1 e T(v2)=lambda2 v2 © T(v1+v2)=lambda(v1+v2), então lambda1=lambda2=lambda. Boa prova!
Expresse a função indicada na forma f(z)=u+i v.
c) f(z)=z^3-4 z