Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por uma lei de recorrência: para . Sabemos que e precisamos descobrir qual valor de faz com que o limite da sequência, quando vai para o infinito, seja zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes e limites de sequências lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a recorrência em termos de vetores e matrizes. Definimos um vetor xn xn+1 . A partir da relação dada, podemos escrever:
vn+1 = 0 & 1 -3 & 283 vn
Isso significa que cada próximo vetor é obtido multiplicando uma matriz pela atual .
Passo 3
Para que A = 0 & 1 -3 & 283 , precisamos que os autovalores dessa matriz tenham módulo menor que 1. Então, vamos calcular os autovalores da matriz:
Para o limite da sequência ser zero, todos os componentes da solução devem tender a zero. Porém, notamos que um dos autovalores é , que é maior que 1. Isso significa que, a menos que o coeficiente associado a esse autovalor seja zero, a sequência não vai tender a zero.
Passo 6
A solução geral da recorrência pode ser escrita como:
xn = C1 (9)^n + C2 ( 13 )^n
Para que , o termo com deve desaparecer, ou seja, .