Sejam
um inteiro positivo e
um número real. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite quando
se aproxima de
de
é igual a
. Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. A ideia é simplificar essa fração para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos usar uma técnica de fatoração conhecida como fatoração da diferença de potências.
Passo 3
A diferença de potências, como
, pode ser fatorada da seguinte maneira:
Isso significa que podemos reescrever a fração original substituindo
pela fatoração acima.
Passo 4
Substituindo na expressão original, temos:
Aqui, podemos cancelar o termo
no numerador e no denominador, desde que
, o que é válido no contexto do limite.
Passo 5
Após o cancelamento, a expressão simplifica para:
Agora, queremos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de
.
Passo 6
Quando
se aproxima de
, cada termo da soma se torna
, já que
tende a
. Assim, temos
termos iguais a
. Portanto, a soma total será:
Resposta
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Calcule os seguintes limites:
Suponl
Calcule os seguintes limites:
;
Calcule
;