Sejam k um inteiro positivo e a um número real. Mostre que
lim x a x^k-a^kx-a=k a^k-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite quando se aproxima de de é igual a . Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . A ideia é simplificar essa fração para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos usar uma técnica de fatoração conhecida como fatoração da diferença de potências.

Passo 3

A diferença de potências, como x^k - a^k = (x - a)(x^k-1 + x^k-2a + x^k-3a^2 + dots + a^k-1) , pode ser fatorada da seguinte maneira:
Isso significa que podemos reescrever a fração original substituindo pela fatoração acima.

Passo 4

Substituindo na expressão original, temos:
x^k - a^kx - a = (x - a)(x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1)x - a
Aqui, podemos cancelar o termo no numerador e no denominador, desde que , o que é válido no contexto do limite.

Passo 5

Após o cancelamento, a expressão simplifica para:
x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1
Agora, queremos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de .

Passo 6

Quando k cdot a^k-1 se aproxima de , cada termo da soma se torna , já que tende a . Assim, temos termos iguais a . Portanto, a soma total será:

Resposta

lim x a x^k-a^kx-a = k a^k-1

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