Calcule lim x a(x^n-a^n) cos 1x-a;

Passo 1

Vamos calcular o limite . Aqui, estamos lidando com um limite que envolve um polinômio ( ) e a função cosseno. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte se comporta quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^n - a^n = (x - a)(x^n-1 + x^n-2a + dots + a^n-1) . Podemos fatorar essa diferença usando a identidade de fatoração de potências:
Isso nos ajuda a separar o termo que se aproxima de zero ( ) dos demais termos.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada fator quando x^n - a^n approx (x - a) cdot n a^n-1 se aproxima de :
  • porque está se aproximando de .
  • A soma se aproxima de , já que cada termo tende a .
Portanto, podemos aproximar:

Passo 4

Agora, vamos olhar para . À medida que se aproxima de , tende para infinito ( dependendo da direção). O cosseno de um número que tende ao infinito não tem limite definido porque ele continua oscilando entre -1 e 1.

Passo 5

Multiplicando as duas partes que analisamos:
(x^n - a^n) cos 1x - a approx (x - a) cdot n a^n-1 cdot cos 1x - a
Sabemos que . Portanto, o produto vai estar entre e . Como , ambos os limites inferiores e superiores tendem a 0.

Resposta

lim x a(x^n-a^n) cos 1x-a = 0

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