Sejam u=lang<= 1,3,-2,1rang<= e v=lang<= 2,0,-1,4rang<= vetores do R^4. Determine os escalares alpha1 e alpha2 que satisfazem as combinações:
b) alpha1 u+alpha2 v=lang<=-3,3,0,-7rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço de 4 dimensões, e . O desafio é encontrar os escalares e que, quando combinados linearmente, resultam no vetor . Isso envolve conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinar linearmente os vetores alpha1 lang<= 1, 3, -2, 1 rang<= + alpha2 lang<= 2, 0, -1, 4 rang<= = lang<= -3, 3, 0, -7 rang<= e . A combinação linear dá:
Isso quer dizer que cada componente dos vetores deve se igualar. Vamos separar isso em um sistema de equações.

Passo 3

Vamos escrever as equações para cada componente:
  1. Primeira componente:
1 cdot alpha1 + 2 cdot alpha2 = -3
  1. Segunda componente:
3 cdot alpha1 + 0 cdot alpha2 = 3
  1. Terceira componente:
-2 cdot alpha1 - 1 cdot alpha2 = 0
  1. Quarta componente:
1 cdot alpha1 + 4 cdot alpha2 = -7

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Vamos começar pela segunda equação, que é mais simples:
3 alpha1 = 3 implies alpha1 = 1
Com 1 + 2 alpha2 = -3 implies 2 alpha2 = -4 implies alpha2 = -2 , substituímos na primeira equação:
-2(1) -1(-2) = -2 + 2 = 0 (Confere)
Vamos verificar se esses valores satisfazem as outras equações:
Terceira equação:
1 + 4(-2) = 1 - 8 = -7 (Confere)
Quarta equação:

Resposta

Os escalares que satisfazem a combinação são e .

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