Determine r tal que o vetor do ponto A(1,-1,3) ao ponto B(3,0,5) seja perpendicular ao vetor que parte de A ao ponto P(r, r, r).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de de modo que o vetor que vai do ponto ao ponto seja perpendicular ao vetor que vai de ao ponto .
Conteúdo da matéria: Vetores no espaço tridimensional e o conceito de perpendicularidade entre vetores.
O que vamos precisar:
  • Saber como calcular um vetor a partir de dois pontos.
  • Entender que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
  • Usar equações para encontrar o valor desconhecido .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) para AB = (3 - 1, 0 - (-1), 5 - 3) = (2, 1, 2) . Se temos dois pontos e , o vetor é dado por:
Para os pontos e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que vai de AP = (r - 1, r - (-1), r - 3) = (r - 1, r + 1, r - 3) para , que é :

Passo 4

Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de AB cdot AP = 2(r - 1) + 1(r + 1) + 2(r - 3) = 0 e é calculado assim:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
2(r - 1) + (r + 1) + 2(r - 3) = 0
Distribuindo os termos:
2r - 2 + r + 1 + 2r - 6 = 0
Somando os termos semelhantes:
(2r + r + 2r) + (-2 + 1 - 6) = 0 5r - 7 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos para 5r - 7 = 0 5r = 7 r = 75 r = 1,4 :

Resposta

O valor de que satisfaz as condições do exercício é ou .

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