Sejam lang<=u, vrang<==tr(u^t v) um produto interno matricial em M2 times 2(R), e u=[cc1 & 2 -3 & 5] e v=[ll4 & 6 0 & 8]. Calcule lang<=u, vrang<= e |u|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre produto interno de matrizes. O produto interno matricial é dado por lang<=u, vrang<= = tr(u^t v), onde tr representa a traça de uma matriz (a soma dos elementos da diagonal principal). Precisamos calcular esse produto interno entre as matrizes u e v e também a norma de u, que é dada por |u| = raizlang<=u, urang<=.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto u^t v. A matriz transposta de u, denotada por u^t, é:
u^t = 1 & -3 2 & 5
Agora, multiplicamos u^t por v:
u^t v = 1 & -3 2 & 5 4 & 6 0 & 8 = (1)(4) + (-3)(0) & (1)(6) + (-3)(8) (2)(4) + (5)(0) & (2)(6) + (5)(8) = 4 & 6 - 24 8 & 12 + 40 = 4 & -18 8 & 52

Passo 3

Agora que temos u^t v, vamos calcular a traça dessa matriz. A traça é a soma dos elementos da diagonal principal:
tr(u^t v) = 4 + 52 = 56
Então, o produto interno lang<=u, vrang<= é 56.

Passo 4

Para encontrar a norma de u, usamos a fórmula |u| = raizlang<=u, urang<=. Primeiro, vamos calcular lang<=u, urang<=.
Calculando u^t u:
u^t u = 1 & -3 2 & 5 1 & 2 -3 & 5 = (1)(1) + (-3)(-3) & (1)(2) + (-3)(5) (2)(1) + (5)(-3) & (2)(2) + (5)(5) = 1 + 9 & 2 - 15 2 - 15 & 4 + 25 = 10 & -13 -13 & 29
A traça dessa matriz é:
tr(u^t u) = 10 + 29 = 39
Então, a norma de u é |u| = raiz39.

Resposta

lang<=u, vrang<= = 56 e |u| = raiz39.

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