Sejam
fixados em
e
números não negativos tais que
. Considere os números
definidos por
Mostre que
Passo 1
Então, temos um problema da matemática que envolve sequências e combinações de números. Especificamente, temos números naturais fixos
e coeficientes não negativos
que somam 1. A sequência
é definida de uma maneira que, após os primeiros
termos, cada termo é uma combinação ponderada dos
termos anteriores. Nosso objetivo aqui é mostrar que, para todo
, o termo
está sempre entre o menor e o maior dos
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências e propriedades de combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é o menor e o maior valor entre os
. Vamos chamar:
Esses valores vão nos ajudar a estabelecer os limites para
.
Passo 3
Agora, observamos que os primeiros
termos da sequência são exatamente os
:
Por isso, para
de 1 até
, já sabemos que cada
está entre
e
, já que esses são os próprios
.
Passo 4
Para
, a definição da sequência nos diz que:
Aqui, cada
é uma soma ponderada dos
termos anteriores, com os pesos
que são não negativos e somam 1.
Passo 5
Vamos assumir, por indução, que todos os termos anteriores
(para
) estão entre
e
. Ou seja:
Passo 6
Multiplicando cada termo da desigualdade pelo correspondente
(que são não negativos), temos:
Como
, a desigualdade se mantém nas duas direções.
Passo 7
Somando todas essas desigualdades para
até
, obtemos:
Simplificando, já que
:
Passo 8
Assim, por indução, mostramos que se todos os termos anteriores estão entre
e
, então
também estará nessa faixa. Como sabemos que os primeiros
termos já satisfazem isso, concluímos que para todo
,
está entre o menor e o maior dos
.
Resposta
Para todo
, temos:
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Identifique a curva definida pela função vetorial
;