Sejam fixados em e números não negativos tais que . Considere os números definidos por
Mostre que

Passo 1

Então, temos um problema da matemática que envolve sequências e combinações de números. Especificamente, temos números naturais fixos e coeficientes não negativos que somam 1. A sequência é definida de uma maneira que, após os primeiros termos, cada termo é uma combinação ponderada dos termos anteriores. Nosso objetivo aqui é mostrar que, para todo , o termo está sempre entre o menor e o maior dos . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências e propriedades de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o menor e o maior valor entre os . Vamos chamar:
Esses valores vão nos ajudar a estabelecer os limites para .

Passo 3

Agora, observamos que os primeiros termos da sequência são exatamente os :
Por isso, para de 1 até , já sabemos que cada está entre e , já que esses são os próprios .

Passo 4

Para , a definição da sequência nos diz que:
Aqui, cada é uma soma ponderada dos termos anteriores, com os pesos que são não negativos e somam 1.

Passo 5

Vamos assumir, por indução, que todos os termos anteriores (para ) estão entre e . Ou seja:

Passo 6

Multiplicando cada termo da desigualdade pelo correspondente (que são não negativos), temos:
Como , a desigualdade se mantém nas duas direções.

Passo 7

Somando todas essas desigualdades para até , obtemos:
Simplificando, já que :

Passo 8

Assim, por indução, mostramos que se todos os termos anteriores estão entre e , então também estará nessa faixa. Como sabemos que os primeiros termos já satisfazem isso, concluímos que para todo , está entre o menor e o maior dos .

Resposta

Para todo , temos:

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