Calcule o comprimento das curvas:
r = 1 + sen(θ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por . Isso está relacionado ao estudo de cálculo de comprimentos de curvas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares . A fórmula é:
Aqui, e são os limites do ângulo que descrevem uma volta completa da curva.

Passo 3

No nosso caso, a curva é e queremos calcular o comprimento para variando de 0 a (uma volta completa). Então, e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do comprimento:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Então, a integral fica:

Passo 7

Podemos fatorar 2 dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 8

Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo na integral:

Passo 9

Vamos integrar :
Então, avaliando de 0 a :
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é .

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