Calcule o comprimento das curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo de comprimentos de curvas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento
de uma curva em coordenadas polares
. A fórmula é:
Aqui,
e
são os limites do ângulo
que descrevem uma volta completa da curva.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
e queremos calcular o comprimento para
variando de 0 a
(uma volta completa). Então,
e
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Então, a integral fica:
Passo 7
Podemos fatorar 2 dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 8
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo na integral:
Passo 9
Vamos integrar
:
Então, avaliando de 0 a
:
Simplificando:
Resposta
O comprimento da curva
é
.