Construa uma função sobrejetiva
tal que para cada
a pre-imagem
seja um conjunto enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir uma função sobrejetiva
. Sobrejetiva significa que para todo número natural
, existe pelo menos um número natural
tal que
. Além disso, para cada
, o conjunto das soluções
deve ser enumerável, ou seja, contar com uma sequência listável de elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções sobrejetivas e conjuntos enumeráveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. Uma função
é sobrejetiva se cada elemento de
tem pelo menos um correspondente em
. No nosso caso, queremos garantir que para todo
, exista pelo menos um
tal que
.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que para cada
, o conjunto
seja enumerável. Isso significa que podemos listar todos os
que mapeiam para
em uma sequência
. Para isso, vamos definir uma regra que associe cada
a uma lista infinita de
.
Passo 4
Vamos construir uma função que, para cada
, associa infinitos
mapeando para ele. Uma maneira simples de fazer isso é usar múltiplos de cada
. Por exemplo, podemos definir
se
for múltiplo de
.
Passo 5
No entanto, precisamos garantir que todos os
sejam atingidos e que cada
seja enumerável. Uma abordagem comum é intercalar as múltiplas listas de cada
. Podemos usar a seguinte definição:
Onde
é escolhido de forma a garantir que cada
seja mapeado para múltiplos de
.
Passo 6
Uma maneira mais direta é definir
de forma que para cada
,
seja a sequência
, onde
é um número fixo que garante a sobrejetividade e enumerabilidade. Por exemplo, podemos definir
.
Passo 7
Na verdade, uma definição mais adequada seria:
Dessa forma, para cada
,
, que é um conjunto finito e, portanto, enumerável.
Passo 8
Mas para garantir infinitos pré-imagens, vamos ajustar a função. Podemos definir:
Onde
varia de forma que cada
seja mapeado para uma sequência infinita de
.
Passo 9
Uma solução mais elegante é usar a função identidade de forma multiplicada. Definimos:
Isso assegura que para cada
, há infinitos
mapeando para
, formando um conjunto enumerável.
Resposta
Uma função sobrejetiva que atende aos critérios é:
Dessa forma, para cada
, a pré-imagem
é um conjunto enumerável.
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Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Sejam
fixados em
e
números não negativos tais que
. Considere os números
definidos por
Mostre que