Construa uma função sobrejetiva tal que para cada a pre-imagem seja um conjunto enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir uma função sobrejetiva . Sobrejetiva significa que para todo número natural , existe pelo menos um número natural tal que . Além disso, para cada , o conjunto das soluções deve ser enumerável, ou seja, contar com uma sequência listável de elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções sobrejetivas e conjuntos enumeráveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se cada elemento de tem pelo menos um correspondente em . No nosso caso, queremos garantir que para todo , exista pelo menos um tal que .

Passo 3

Agora, precisamos garantir que para cada , o conjunto seja enumerável. Isso significa que podemos listar todos os que mapeiam para em uma sequência . Para isso, vamos definir uma regra que associe cada a uma lista infinita de .

Passo 4

Vamos construir uma função que, para cada , associa infinitos mapeando para ele. Uma maneira simples de fazer isso é usar múltiplos de cada . Por exemplo, podemos definir se for múltiplo de .

Passo 5

No entanto, precisamos garantir que todos os sejam atingidos e que cada seja enumerável. Uma abordagem comum é intercalar as múltiplas listas de cada . Podemos usar a seguinte definição:
Onde é escolhido de forma a garantir que cada seja mapeado para múltiplos de .

Passo 6

Uma maneira mais direta é definir de forma que para cada , seja a sequência , onde é um número fixo que garante a sobrejetividade e enumerabilidade. Por exemplo, podemos definir .

Passo 7

Na verdade, uma definição mais adequada seria:
Dessa forma, para cada , , que é um conjunto finito e, portanto, enumerável.

Passo 8

Mas para garantir infinitos pré-imagens, vamos ajustar a função. Podemos definir:
Onde varia de forma que cada seja mapeado para uma sequência infinita de .

Passo 9

Uma solução mais elegante é usar a função identidade de forma multiplicada. Definimos:
Isso assegura que para cada , há infinitos mapeando para , formando um conjunto enumerável.

Resposta

Uma função sobrejetiva que atende aos critérios é:
Dessa forma, para cada , a pré-imagem é um conjunto enumerável.

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