Determine o valor dos limites abaixo: lim x 3 x^2-9x^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que calcular o limite . Isso envolve limites de funções racionais, onde vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar e encontrar o valor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) . Isso é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser escrita como . Então:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Assim, a fatoração fica:

Passo 4

Com as fatorações feitas, a expressão original fica:
(x - 3)(x + 3)(x - 3)(x + 1)
Como x + 3x + 1 está se aproximando de mas não é igual a , podemos cancelar o do numerador e do denominador:

Passo 5

Agora é só substituir 3 + 33 + 1 = 64 = 32 por na expressão simplificada:

Resposta

O valor do limite é .

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