Sejam a e b os números de pontos nas faces de um dado que apareceram voltadas para cima nas duas vezes em que o dado foi rolado. Os números de pontos nas faces vão de 1 a 6. A partir desses números, foi montada a reta y = ax + b. Para quantos pares (a; b), o triângulo formado pela reta e pelos eixos coordenados é isósceles?
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 6
(E) 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um dado que foi rolado duas vezes, e os números que apareceram nas faces superiores são $ a $ e $ b $, ambos entre 1 e 6. Com esses números, construímos a reta $ y = ax + b $. Nosso objetivo é descobrir para quantos pares $ (a, b) $ essa reta forma um triângulo isósceles com os eixos coordenados.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Interseções da reta com os eixos: onde a reta cruza os eixos $ x $ e $ y $.
  • Propriedades de triângulos isósceles: triângulos que têm pelo menos dois lados de comprimentos iguais.
  • Cálculo de distâncias entre pontos: para determinar os comprimentos dos lados do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a reta $ y = ax + b $ intercepta os eixos coordenados.
  • Interseção com o eixo $ y $: ocorre quando $ x = 0 $.
    y = ax + b
    Então, a reta cruza o eixo $ y $ no ponto $ (0, b) $.
  • Interseção com o eixo $ x $: ocorre quando $ y = 0 $.
    y
    Então, a reta cruza o eixo $ x $ no ponto $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vértices do triângulo formado pela reta e pelos eixos:
  1. Origem: $ (0, 0) $
  2. Ponto de interseção com o eixo $ x $: $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $
  3. Ponto de interseção com o eixo $ y $: $ (0, b) $

Passo 4

Vamos calcular os comprimentos dos lados desse triângulo:
  • Lado entre $ (0, 0) $ e $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $:
    (0, 0)
  • Lado entre $ (0, 0) $ e $ (0, b) $:
    (-ba, 0)
  • Lado entre $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $ e $ (0, b) $:
    Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
    Comprimento = | -ba - 0 | = ba

Passo 5

Para que o triângulo seja isósceles, pelo menos dois dos lados devem ter o mesmo comprimento. Vamos analisar as possíveis igualdades:
  1. Comprimento $ \frac{b}{a} = b $:
    ba = b
    Nesse caso, para qualquer valor de $ b $ de 1 a 6, essa igualdade será verdadeira.
  2. Comprimento $ \frac{b}{a} = b \sqrt{\frac{1}{a^2} + 1} $:
    ba = b Rightarrow 1a = 1 Rightarrow a = 1
    Elevando ambos os lados ao quadrado:
    b
    Isso é impossível, então não há soluções nesse caso.
  3. Comprimento $ b = b \sqrt{\frac{1}{a^2} + 1} $:
    ba = b raiz1a^2 + 1
    Elevando ao quadrado:
    ba = b raiz1a^2 + 1 Rightarrow 1a = raiz1a^2 + 1
    Também impossível, então não há soluções nesse caso.

Passo 6

Portanto, a única possibilidade é quando $ a = 1 $. Nesse caso, $ b $ pode ser qualquer número de 1 a 6. Isso resulta em 6 pares diferentes $ (a, b) $:
  • $ (1, 1) $
  • $ (1, 2) $
  • $ (1, 3) $
  • $ (1, 4) $
  • $ (1, 5) $
  • $ (1, 6) $

Resposta

A alternativa correta é (D) 6.

Exercícios relacionados