Sejam a e b os números de pontos nas faces de um dado que apareceram voltadas para cima nas duas vezes em que o dado foi rolado. Os números de pontos nas faces vão de 1 a 6. A partir desses números, foi montada a reta y = ax + b. Para quantos pares (a; b), o triângulo formado pela reta e pelos eixos coordenados é isósceles?
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 6
(E) 12
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 6
(E) 12
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um dado que foi rolado duas vezes, e os números que apareceram nas faces superiores são $ a $ e $ b $, ambos entre 1 e 6. Com esses números, construímos a reta $ y = ax + b $. Nosso objetivo é descobrir para quantos pares $ (a, b) $ essa reta forma um triângulo isósceles com os eixos coordenados.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Interseções da reta com os eixos: onde a reta cruza os eixos $ x $ e $ y $.
- Propriedades de triângulos isósceles: triângulos que têm pelo menos dois lados de comprimentos iguais.
- Cálculo de distâncias entre pontos: para determinar os comprimentos dos lados do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a reta $ y = ax + b $ intercepta os eixos coordenados.
-
Interseção com o eixo $ y $: ocorre quando $ x = 0 $.Então, a reta cruza o eixo $ y $ no ponto $ (0, b) $.
-
Interseção com o eixo $ x $: ocorre quando $ y = 0 $.Então, a reta cruza o eixo $ x $ no ponto $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vértices do triângulo formado pela reta e pelos eixos:
- Origem: $ (0, 0) $
- Ponto de interseção com o eixo $ x $: $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $
- Ponto de interseção com o eixo $ y $: $ (0, b) $
Passo 4
Vamos calcular os comprimentos dos lados desse triângulo:
-
Lado entre $ (0, 0) $ e $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $:
-
Lado entre $ (0, 0) $ e $ (0, b) $:
(-ba, 0) -
Lado entre $ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) $ e $ (0, b) $:
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:Comprimento = | -ba - 0 | = ba
Passo 5
Para que o triângulo seja isósceles, pelo menos dois dos lados devem ter o mesmo comprimento. Vamos analisar as possíveis igualdades:
-
Comprimento $ \frac{b}{a} = b $:
ba = b Nesse caso, para qualquer valor de $ b $ de 1 a 6, essa igualdade será verdadeira. -
Comprimento $ \frac{b}{a} = b \sqrt{\frac{1}{a^2} + 1} $:
ba = b Rightarrow 1a = 1 Rightarrow a = 1 Elevando ambos os lados ao quadrado:b Isso é impossível, então não há soluções nesse caso. -
Comprimento $ b = b \sqrt{\frac{1}{a^2} + 1} $:
ba = b raiz1a^2 + 1 Elevando ao quadrado:ba = b raiz1a^2 + 1 Rightarrow 1a = raiz1a^2 + 1 Também impossível, então não há soluções nesse caso.
Passo 6
Portanto, a única possibilidade é quando $ a = 1 $. Nesse caso, $ b $ pode ser qualquer número de 1 a 6. Isso resulta em 6 pares diferentes $ (a, b) $:
- $ (1, 1) $
- $ (1, 2) $
- $ (1, 3) $
- $ (1, 4) $
- $ (1, 5) $
- $ (1, 6) $
Resposta
A alternativa correta é (D) 6.