A aproximação linear é muito útil em problemas aplicados, quando lidamos com funções mais complexas. Utilizando a aproximação linear da função f(x)=x3-1 em x0=2, qual o valor da aproximação para x=2,1?
a) 8,1.
b) 8,2.
c) 8,3.
d) 8,4.
e) 8,5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a aproximação linear para encontrar o valor aproximado da função $ f(x) = x^3 - 1 $ quando $ x = 2,1 $. A gente vai calcular isso usando o ponto $ x_0 = 2 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas ajudam na aproximação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a aproximação linear. Basicamente, é uma maneira de aproximar o valor de uma função em um ponto próximo de $ x_0 $ usando a reta tangente à função nesse ponto. A fórmula da aproximação linear é:
x0
Aqui, $ f’(x_0) $ é a derivada da função $ f $ no ponto $ x_0 $.

Passo 3

Vamos calcular $ f(x_0) $, ou seja, $ f(2) $:
f(x0)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^3 - 1 $. A derivada de $ x^3 $ é $ 3x^2 $ e a derivada de uma constante, como f(x) = x^3 - 1 , é 0. Então:
x^3

Passo 5

Vamos calcular $ f’(2) $:
f'(2)

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da aproximação linear com os valores que encontramos:
L(2,1) = f(2) + f'(2)(2,1 - 2) = 7 + 12 times 0,1 = 7 + 1,2 = 8,2

Resposta

A aproximação linear para $ x = 2,1 $ é 8,2. Portanto, a resposta correta é a letra b) 8,2.

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