Sejam e . Determine um ponto da reta tal que que a área do triângulo seja 9 nos seguintes casos:
e
e
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional: a reta que passa pelos pontos e . Queremos encontrar um ponto nessa reta tal que o triângulo formado pelos pontos , e tenha área igual a 9. Isso vai acontecer em dois cenários diferentes, dependendo de quais são os pontos e . Vamos resolver cada caso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar a coordenada do ponto na reta . Para isso, vamos usar a equação paramétrica da reta.
A reta que passa por dois pontos e pode ser descrita por:
Onde é um parâmetro real. Vamos calcular :
Então, a equação paramétrica da reta fica:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por .
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do triângulo usando a fórmula do produto vetorial. A área de um triângulo formado por três pontos no espaço é dada por:
Onde e são vetores formados pelos pontos , e .
Passo 4
Vamos fazer isso para cada caso.
Caso 1: e
Primeiro, encontramos os vetores e :
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial :
Calculando o determinante:
AB times AC = i (0 + 6 + 6t) - j (-6 + 6t - 6 + 6t) + k (-12 - 12t)
Simplificando:
= (6 + 6t) i - (-12 + 12t) j - 12(1 + t) k
= (6 + 6t, , 12 - 12t, , -12 - 12t)
Passo 6
Agora, calculamos a norma desse vetor para encontrar a área:
| AB times AC | = raiz(6 + 6t)^2 + (12 - 12t)^2 + (-12 - 12t)^2
Então, a área do triângulo Área = 12 times 18raiz1 + t^2 = 9raiz1 + t^2 é:
Á
Passo 7
Queremos que essa área seja igual a 9:
9raiz1 + t^2 = 9
Dividindo ambos os lados por 9:
raiz1 + t^2 = 1
Elevando ao quadrado:
1 + t^2 = 1 implies t^2 = 0 implies t = 0
Passo 8
Substituindo C(0) = (2 - 2 times 0, , 1 - 2 times 0, , -1 + 0) = (2, 1, -1) na equação paramétrica de AB = (6, 0, 3), AC = (0, -2, 0) :
AB times AC = i & j & k 6 & 0 & 3 0 & -2 & 0 = i(0 cdot 0 - 3 cdot (-2)) - j(6 cdot 0 - 3 cdot 0) + k(6 cdot (-2) - 0 cdot 0) = (6, 0, -12)
Mas isso significa que | AB times AC | = raiz6^2 + 0^2 + (-12)^2 = raiz36 + 0 + 144 = raiz180 = 6raiz5 coincide com Área = 12 times 6raiz5 = 3raiz5 approx 6.708 . Vamos verificar se essa configuração realmente dá a área 9.
Calculando a área com :
Á
O que não é 9. Parece que fizemos algo errado ou talvez não exista um ponto que satisfaça a condição nesse caso específico.
Passo 9
Agora, vamos para o Segundo Caso: AB = B - A = (-5 - (-1), -3 - 1, 4 - 2) = (-4, -4, 2) e AC = C(t) - A = (2 - 2t - (-1), , 1 - 2t - 1, , -1 + t - 2) = (3 - 2t, , -2t, , -3 + t)
Vamos repetir o processo.
Primeiro, encontramos os vetores e :
Passo 10
Calculamos o produto vetorial AB times AC = i & j & k -4 & -4 & 2 3 - 2t & -2t & -3 + t :