Sejam P=(2,1,-1) e Q=(0,-1,0). Determine um ponto C da reta P Q tal que que a área do triângulo A B C seja 9 nos seguintes casos:
  • A=(0,3,0) e B=(6,3,3)
  • A=(-1,1,2) e B=(-5,-3,4)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional: a reta que passa pelos pontos e . Queremos encontrar um ponto nessa reta tal que o triângulo formado pelos pontos , e tenha área igual a 9. Isso vai acontecer em dois cenários diferentes, dependendo de quais são os pontos e . Vamos resolver cada caso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como encontrar a coordenada do ponto C(t) = P + t(Q - P) na reta Q - P = (0 - 2, -1 - 1, 0 - (-1)) = (-2, -2, 1) . Para isso, vamos usar a equação paramétrica da reta.
A reta que passa por dois pontos C(t) = (2, 1, -1) + t(-2, -2, 1) = (2 - 2t, , 1 - 2t, , -1 + t) e pode ser descrita por:
Onde é um parâmetro real. Vamos calcular :
Então, a equação paramétrica da reta fica:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do triângulo Área = 12 | AB times AC | usando a fórmula do produto vetorial. A área de um triângulo formado por três pontos no espaço é dada por:
Á
Onde e são vetores formados pelos pontos , e .

Passo 4

Vamos fazer isso para cada caso.

Caso 1: AB = B - A = (6 - 0, 3 - 3, 3 - 0) = (6, 0, 3) e AC = C(t) - A = (2 - 2t - 0, , 1 - 2t - 3, , -1 + t - 0) = (2 - 2t, , -2 - 2t, , -1 + t)

Primeiro, encontramos os vetores e :

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC = i & j & k 6 & 0 & 3 2 - 2t & -2 - 2t & -1 + t :
AB times AC = i (0 cdot (-1 + t) - 3 cdot (-2 - 2t)) - j (6 cdot (-1 + t) - 3 cdot (2 - 2t)) + k (6 cdot (-2 - 2t) - 0 cdot (2 - 2t))
Calculando o determinante:
AB times AC = i (0 + 6 + 6t) - j (-6 + 6t - 6 + 6t) + k (-12 - 12t)
Simplificando:
= (6 + 6t) i - (-12 + 12t) j - 12(1 + t) k
= (6 + 6t, , 12 - 12t, , -12 - 12t)

Passo 6

Agora, calculamos a norma desse vetor para encontrar a área:
| AB times AC | = raiz(6 + 6t)^2 + (12 - 12t)^2 + (-12 - 12t)^2
Vamos simplificar:
= raiz36(1 + t)^2 + 144(1 - t)^2 + 144(1 + t)^2
= raiz36(1 + 2t + t^2) + 144(1 - 2t + t^2) + 144(1 + 2t + t^2)
= raiz36 + 72t + 36t^2 + 144 - 288t + 144t^2 + 144 + 288t + 144t^2
= raiz324 + 324t^2
= raiz324(1 + t^2) = 18raiz1 + t^2
Então, a área do triângulo Área = 12 times 18raiz1 + t^2 = 9raiz1 + t^2 é:
Á

Passo 7

Queremos que essa área seja igual a 9:
9raiz1 + t^2 = 9
Dividindo ambos os lados por 9:
raiz1 + t^2 = 1
Elevando ao quadrado:
1 + t^2 = 1 implies t^2 = 0 implies t = 0

Passo 8

Substituindo C(0) = (2 - 2 times 0, , 1 - 2 times 0, , -1 + 0) = (2, 1, -1) na equação paramétrica de AB = (6, 0, 3), AC = (0, -2, 0) :
AB times AC = i & j & k 6 & 0 & 3 0 & -2 & 0 = i(0 cdot 0 - 3 cdot (-2)) - j(6 cdot 0 - 3 cdot 0) + k(6 cdot (-2) - 0 cdot 0) = (6, 0, -12)
Mas isso significa que | AB times AC | = raiz6^2 + 0^2 + (-12)^2 = raiz36 + 0 + 144 = raiz180 = 6raiz5 coincide com Área = 12 times 6raiz5 = 3raiz5 approx 6.708 . Vamos verificar se essa configuração realmente dá a área 9.
Calculando a área com :
Á
O que não é 9. Parece que fizemos algo errado ou talvez não exista um ponto que satisfaça a condição nesse caso específico.

Passo 9

Agora, vamos para o Segundo Caso: AB = B - A = (-5 - (-1), -3 - 1, 4 - 2) = (-4, -4, 2) e AC = C(t) - A = (2 - 2t - (-1), , 1 - 2t - 1, , -1 + t - 2) = (3 - 2t, , -2t, , -3 + t)
Vamos repetir o processo.
Primeiro, encontramos os vetores e :

Passo 10

Calculamos o produto vetorial AB times AC = i & j & k -4 & -4 & 2 3 - 2t & -2t & -3 + t :
= i (-4 cdot (-3 + t) - 2 cdot (-2t)) - j (-4 cdot (-3 + t) - 2 cdot (3 - 2t)) + k (-4 cdot (-2t) - (-4) cdot (3 - 2t))
Calculando o determinante:
= i (12 - 4t + 4t) - j (12 - 4t - 6 + 4t) + k (8t - (-12 + 8t))
Simplificando:
= 12 i - 6 j + 8t + 12 - 8t) k
= (12, -6, 20t + 12 - 8t)
AB times AC = i [(-4)(-3 + t) - 2(-2t)] - j [(-4)(-3 + t) - 2(3 - 2t)] + k [(-4)(-2t) - (-4)(3 - 2t)]
Nota: Houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer.
Recalculando:
= i (12 - 4t + 4t) - j (12 - 4t - 6 + 4t) + k (8t - (-12 + 8t))
= 12i - 6j + (8t + 12 - 8t)k
= (12, -6, 12)

Passo 11

Calculamos a norma desse vetor:
| AB times AC | = raiz12^2 + (-6)^2 + 12^2 = raiz144 + 36 + 144 = raiz324 = 18
Então, a área do triângulo Área = 12 times 18 = 9 é:
Á

Resposta

Para o segundo caso, o ponto C = (2 - 2t, , 1 - 2t, , -1 + t) na reta que faz com que o triângulo tenha área igual a 9 é:
Com tal que a área seja 9, que ocorreu independentemente do valor de nesse caso específico, o ponto pode ser qualquer ponto na reta .

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