Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores:
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Se forem LD, vamos mostrar como um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vectors serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Matematicamente, isso fica:
Nosso objetivo é descobrir se existem valores para
, diferentes de zero, que satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações a partir da combinação acima. Isso nos dá três equações (uma para cada coordenada):
-
\
Simplificando:\
Podemos dividir tudo por 2:\quad (Equação A) -
\
Simplificando:\quad (Equação B) -
\
Simplificando:\quad (Equação C)
Agora, vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é
.
Passo 4
Da Equação A:
Vamos substituir
na Equação C:
Podemos resolver para
:
Agora, substituímos
e
em termos de
na Equação B:
Isso significa que existem soluções não triviais (onde
), indicando que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto de vetores
é linearmente dependente. Especificamente, o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores:
Para simplificar, assumindo
:
Observação: A combinação exata pode variar dependendo dos coeficientes escolhidos, mas a ideia principal é que um dos vetores pode ser representado pelos outros, provando a dependência linear.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
, em que
é o traço de
.
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Determine as equações dareta que passa por
Sejam
e
. Determine um ponto
da reta
tal que que a área do triângulo
seja 9 nos seguintes casos:
-
e -
e