Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,1,0),(2,0,1),(0,1,2),(2,3,4)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores: (0,1,0), (2,0,1), (0,1,2), (2,3,4). A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Se forem LD, vamos mostrar como um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vectors serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Matematicamente, isso fica:
c1 cdot (0,1,0) + c2 cdot (2,0,1) + c3 cdot (0,1,2) + c4 cdot (2,3,4) = (0,0,0)
Nosso objetivo é descobrir se existem valores para c1, c2, c3, c4, diferentes de zero, que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações a partir da combinação acima. Isso nos dá três equações (uma para cada coordenada):
  1. 0 cdot c1 + 2 cdot c2 + 0 cdot c3 + 2 cdot c4 = 0 \
    Simplificando: 2c2 + 2c4 = 0 \
    Podemos dividir tudo por 2: c2 + c4 = 0 \quad (Equação A)
  2. 1 cdot c1 + 0 cdot c2 + 1 cdot c3 + 3 cdot c4 = 0 \
    Simplificando: c1 + c3 + 3c4 = 0 \quad (Equação B)
  3. 0 cdot c1 + 1 cdot c2 + 2 cdot c3 + 4 cdot c4 = 0 \
    Simplificando: c2 + 2c3 + 4c4 = 0 \quad (Equação C)
Agora, vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é c1 = c2 = c3 = c4 = 0.

Passo 4

Da Equação A: c2 = -c4
Vamos substituir c2 na Equação C:
(-c4) + 2c3 + 4c4 = 0 3c4 + 2c3 = 0
Podemos resolver para c3:
2c3 = -3c4 c3 = -32c4
Agora, substituímos c2 e c3 em termos de c4 na Equação B:
c1 + (-32c4) + 3c4 = 0 c1 + 32c4 = 0 c1 = -32c4
Isso significa que existem soluções não triviais (onde c4 neq 0), indicando que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto de vetores (0,1,0), (2,0,1), (0,1,2), (2,3,4) é linearmente dependente. Especificamente, o vetor (2,3,4) pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores:
(2,3,4) = (-32c4) cdot (0,1,0) + (-c4) cdot (2,0,1) + (-32c4) cdot (0,1,2)
Para simplificar, assumindo c4 = 2:
(2,3,4) = (0, -3, 0) + (-2, 0, -2) + (0, -3, -6) (2,3,4) = (0 - 2 + 0, -3 + 0 -3, 0 -2 -6) (2,3,4) = (-2, -6, -8)
Observação: A combinação exata pode variar dependendo dos coeficientes escolhidos, mas a ideia principal é que um dos vetores pode ser representado pelos outros, provando a dependência linear.

Exercícios relacionados

Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=M2 times 2(R), A, B in M2 times 2(R) e lang<= A, Brang<==tr(A^t B), em que tr(A)=sumi=1^n ai i, forall A in Mn times n(R) é o traço de A.
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(1,0,0),(1,1,1),(2,2,2)
Determine as equações dareta que passa por
lllz & =2, x & = & -y+3
Sejam P=(2,1,-1) e Q=(0,-1,0). Determine um ponto C da reta P Q tal que que a área do triângulo A B C seja 9 nos seguintes casos:
  • A=(0,3,0) e B=(6,3,3)
  • A=(-1,1,2) e B=(-5,-3,4)