Sejam q1, ldots, qn um conjunto de coordenadas generalizadas para um sistema de n graus de liberdade com lagrangiana L(q, dotq, t). Suponha que mudemos o conjunto original de coordenadas generalizadas para outro s1, ldots, sn através das equações de transformação
qi=qi(s1, ldots, sn, t) , i=1, ldots, n
Esta transformação é chada transformação de ponto. Mostre que se a lagrangiana for expressa como uma função de sj, dotsj e t, L(s, dots, t), e satisfizer as equações de transformação de ponto, então L satisfaz as equações de Lagrange com respeito às coordenadas s :
dd t(partial Lpartial dotsj)-partial Lpartial sj=0
Matematicamente, uma transformação de ponto mapeia pontos do espaço de configuração definido pelos q^prime s em pontos do espaço de configuração definido pelos s^prime s. Em outras palavras, um mapeamento bijetivo diferenciável com inversa também diferenciável constitui um difeomorfismo, e portanto o espaço de configuração dos q

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com coordenadas generalizadas e uma Lagrangiana . A ideia é mudar essas coordenadas para outro conjunto usando uma transformação de ponto. Nosso objetivo é mostrar que, se a Lagrangiana expressa em termos de e , ou seja, , satisfaz as equações de transformação de ponto, então ela também satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas .
Vamos precisar entender o que são movimentos em coordenadas generalizadas, transformações de ponto e as próprias equações de Lagrange. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de ponto. Basicamente, é uma mudança de coordenadas onde cada nova coordenada qi = qi(s1, ldots, sn, t) para i=1, ldots, n depende apenas das antigas coordenadas e possivelmente do tempo . Matematicamente, isso está representado por:
Isso significa que cada é uma função das novas coordenadas e do tempo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a Lagrangiana. Ela é uma função que depende das coordenadas generalizadas L(q, dotq, t) , de suas derivadas no tempo dotsj = d sjdt e possivelmente do tempo :
Quando mudamos as coordenadas para , a Lagrangiana também muda para , onde:
Nossa tarefa é mostrar que, nessa nova coordenada , a Lagrangiana ainda satisfaz as equações de Lagrange.

Passo 4

As equações de Lagrange são fundamentais na mecânica Lagrangiana e são dadas por:
ddt(partial Lpartial dotsj) - partial Lpartial sj = 0
Essas equações determinam o comportamento dinâmico do sistema. O que queremos provar é que, após a transformação de coordenadas, a nova Lagrangiana cumpre essas equações para cada .

Passo 5

Vamos começar aplicando a regra da cadeia para expressar as derivadas parciais em termos das novas coordenadas partial Lpartial sj = sumi=1^n partial Lpartial qi partial qipartial sj + partial Lpartial t partial tpartial sj . Como partial Lpartial sj = sumi=1^n partial Lpartial qi partial qipartial sj depende de e , as derivadas ficam:
Mas não depende de , então a última termo é zero:

Passo 6

De maneira semelhante, a derivada parcial de partial Lpartial dotsj = sumi=1^n partial Lpartial dotqi partial dotqipartial dotsj em relação a dotqi = sumk=1^n partial qipartial sk dotsk + partial qipartial t é:
partial dotqipartial dotsj = partial qipartial sj
Como partial Lpartial dotsj = sumi=1^n partial Lpartial dotqi partial qipartial sj , aplicando a transformação de ponto:
Portanto:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada temporal dessa expressão:
ddt(partial Lpartial dotsj) = ddt ( sumi=1^n partial Lpartial dotqi partial qipartial sj )
Aplicando a derivada ao produto:
ddt ( partial Lpartial dotqi ) partial qipartial sj + partial Lpartial dotqi ddt ( partial qipartial sj )

Passo 8

Agora, lembrando as equações de Lagrange originais para as coordenadas ddt(partial Lpartial dotqi) - partial Lpartial qi = 0 :
ddt(partial Lpartial dotqi) = partial Lpartial qi
Então:
partial Lpartial qi partial qipartial sj + partial Lpartial dotqi ddt ( partial qipartial sj )
Substituindo na expressão anterior:

Passo 9

Voltando à equação de Lagrange para ddt(partial Lpartial dotsj) - partial Lpartial sj = ( partial Lpartial qi partial qipartial sj + partial Lpartial dotqi ddt ( partial qipartial sj ) ) - sumi=1^n partial Lpartial qi partial qipartial sj :
partial Lpartial qi partial qipartial sj - sumi=1^n partial Lpartial qi partial qipartial sj = 0
Perceba que o primeiro termo e o terceiro termo se cancelam:
partial Lpartial dotqi ddt ( partial qipartial sj )
Então sobra:

Passo 10

Para concluir, precisamos observar que, sob uma transformação de ponto, a segunda derivada misturada ddt(partial Lpartial dotsj) - partial Lpartial sj = 0 não contribui para as equações de Lagrange, já que a transformação é válida para todo o tempo e as derivadas se cancelam.
Portanto, temos que:
Isso mostra que a Lagrangiana satisfaz as equações de Lagrange nas novas coordenadas .

Resposta

Assim, demonstramos que, sob uma transformação de ponto, a Lagrangiana transformada ddt(partial Lpartial dotsj) - partial Lpartial sj = 0 satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas :

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