Sejam
um conjunto de coordenadas generalizadas para um sistema de
graus de liberdade com lagrangiana
. Suponha que mudemos o conjunto original de coordenadas generalizadas para outro
através das equações de transformação
Esta transformação é chada transformação de ponto. Mostre que se a lagrangiana for expressa como uma função de
e
, e satisfizer as equações de transformação de ponto, então
satisfaz as equações de Lagrange com respeito às coordenadas
:
Matematicamente, uma transformação de ponto mapeia pontos do espaço de configuração definido pelos
em pontos do espaço de configuração definido pelos
. Em outras palavras, um mapeamento bijetivo diferenciável com inversa também diferenciável constitui um difeomorfismo, e portanto o espaço de configuração dos q
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com coordenadas generalizadas
e uma Lagrangiana
. A ideia é mudar essas coordenadas para outro conjunto
usando uma transformação de ponto. Nosso objetivo é mostrar que, se a Lagrangiana expressa em termos de
e
, ou seja,
, satisfaz as equações de transformação de ponto, então ela também satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas
.
Vamos precisar entender o que são movimentos em coordenadas generalizadas, transformações de ponto e as próprias equações de Lagrange. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de ponto. Basicamente, é uma mudança de coordenadas onde cada nova coordenada
depende apenas das antigas coordenadas
e possivelmente do tempo
. Matematicamente, isso está representado por:
Isso significa que cada
é uma função das novas coordenadas
e do tempo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a Lagrangiana. Ela é uma função que depende das coordenadas generalizadas
, de suas derivadas no tempo
e possivelmente do tempo
:
Quando mudamos as coordenadas para
, a Lagrangiana também muda para
, onde:
Nossa tarefa é mostrar que, nessa nova coordenada
, a Lagrangiana ainda satisfaz as equações de Lagrange.
Passo 4
As equações de Lagrange são fundamentais na mecânica Lagrangiana e são dadas por:
Essas equações determinam o comportamento dinâmico do sistema. O que queremos provar é que, após a transformação de coordenadas, a nova Lagrangiana
cumpre essas equações para cada
.
Passo 5
Vamos começar aplicando a regra da cadeia para expressar as derivadas parciais em termos das novas coordenadas
. Como
depende de
e
, as derivadas ficam:
Mas
não depende de
, então a última termo é zero:
Passo 6
De maneira semelhante, a derivada parcial de
em relação a
é:
Como
, aplicando a transformação de ponto:
Portanto:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada temporal dessa expressão:
Aplicando a derivada ao produto:
Passo 8
Agora, lembrando as equações de Lagrange originais para as coordenadas
:
Então:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 9
Voltando à equação de Lagrange para
:
Perceba que o primeiro termo e o terceiro termo se cancelam:
Então sobra:
Passo 10
Para concluir, precisamos observar que, sob uma transformação de ponto, a segunda derivada misturada
não contribui para as equações de Lagrange, já que a transformação é válida para todo o tempo e as derivadas se cancelam.
Portanto, temos que:
Isso mostra que a Lagrangiana
satisfaz as equações de Lagrange nas novas coordenadas
.
Resposta
Assim, demonstramos que, sob uma transformação de ponto, a Lagrangiana transformada
satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas
:
Exercícios relacionados
Um reservatório esférico de aço inoxidável de 3 m de diâmetro interno e 1 cm de espessura é utilizado para armazenar uma mistura de água e gelo a
. O reservatório está ao ar livre a
. Assumindo que todo o tanque de aço está a
e, assim, a resistência térmica do reservatório é desprezivel, determine (a) taxa de transferência de calor para a mistura de água e gelo no reservatório, e (b) a quantidade de gelo a
que derrete durante um período de 24 horas. O calor de fusão da água em pressão atmosférica é
. A emissividade da superficie externa do reservatório é de 0,75 , e o coeficiente de transferência de calor por convecção da superficie externa é de
. K. Assuma que a temperatura média das superficies no entorno para troca por radiação é igual a
.
Respostas: (a) , (b) 5.980 kg
Respostas: (a)
Para cada grandeza física listada, indique as dimensões usando a massa como dimensão primária, e dê as unidades SI típicas:
(g) Tensão de cisalhamento
(g) Tensão de cisalhamento
11
O consumo de energia associado a um aquecedor de água doméstico possui dois componentes: (i) a energia que deve ser fornecida à água para elevar a sua temperatura até o valor desejado no interior do aquecedor, à medida que ela é introduzida para substituir aquela que está sendo consumida, e (ii) a energia necessária para compensar as perdas de calor que ocorrem no tanque de armazenamento do aquecedor, para mantê-lo na temperatura desejada.
O sistema é composto por um tanque cilíndrico de 80 cm de altura por 60 cm de diâmetro, no qual o aquecimento é feito por uma resistência elétrica, imersa na água. Água é reposta de forma a manter o nível do tanque constante. O tanque é revestido por um isolante (espuma de uretana, ), com uma espessura de 25 mm. O custo unitário de energia elétrica é de R$0.41/(kW.h). Vamos analisar o consumo total de energia em uma residência onde o consumo de água aquecida diário é de 380 L .
a) Se a água de reposição está disponível a uma temperatura de , qual o consumo diário de energia associado ao aquecimento desta água até uma temperatura de armazenamento de
? Estime o custo anual da energia requerida pelo sistema.
O consumo de energia associado a um aquecedor de água doméstico possui dois componentes: (i) a energia que deve ser fornecida à água para elevar a sua temperatura até o valor desejado no interior do aquecedor, à medida que ela é introduzida para substituir aquela que está sendo consumida, e (ii) a energia necessária para compensar as perdas de calor que ocorrem no tanque de armazenamento do aquecedor, para mantê-lo na temperatura desejada.
O sistema é composto por um tanque cilíndrico de 80 cm de altura por 60 cm de diâmetro, no qual o aquecimento é feito por uma resistência elétrica, imersa na água. Água é reposta de forma a manter o nível do tanque constante. O tanque é revestido por um isolante (espuma de uretana,
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Fazendo o tranformação de ponto
, obtenha a lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coordenada
. Prove que o período de oscilação é igual a
, independente da amplitude
.