Sejam
um conjunto de coordenadas generalizadas para um sistema de
graus de liberdade com lagrangiana
. Suponha que mudemos o conjunto original de coordenadas generalizadas para outro
através das equações de transformação
Esta transformação é chada transformação de ponto. Mostre que se a lagrangiana for expressa como uma função de
e
, e satisfizer as equações de transformação de ponto, então
satisfaz as equações de Lagrange com respeito às coordenadas
:
Matematicamente, uma transformação de ponto mapeia pontos do espaço de configuração definido pelos
em pontos do espaço de configuração definido pelos
. Em outras palavras, um mapeamento bijetivo diferenciável com inversa também diferenciável constitui um difeomorfismo, e portanto o espaço de configuração dos q
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com coordenadas generalizadas
e uma Lagrangiana
. A ideia é mudar essas coordenadas para outro conjunto
usando uma transformação de ponto. Nosso objetivo é mostrar que, se a Lagrangiana expressa em termos de
e
, ou seja,
, satisfaz as equações de transformação de ponto, então ela também satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas
.
Vamos precisar entender o que são movimentos em coordenadas generalizadas, transformações de ponto e as próprias equações de Lagrange. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de ponto. Basicamente, é uma mudança de coordenadas onde cada nova coordenada
depende apenas das antigas coordenadas
e possivelmente do tempo
. Matematicamente, isso está representado por:
Isso significa que cada
é uma função das novas coordenadas
e do tempo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a Lagrangiana. Ela é uma função que depende das coordenadas generalizadas
, de suas derivadas no tempo
e possivelmente do tempo
:
Quando mudamos as coordenadas para
, a Lagrangiana também muda para
, onde:
Nossa tarefa é mostrar que, nessa nova coordenada
, a Lagrangiana ainda satisfaz as equações de Lagrange.
Passo 4
As equações de Lagrange são fundamentais na mecânica Lagrangiana e são dadas por:
Essas equações determinam o comportamento dinâmico do sistema. O que queremos provar é que, após a transformação de coordenadas, a nova Lagrangiana
cumpre essas equações para cada
.
Passo 5
Vamos começar aplicando a regra da cadeia para expressar as derivadas parciais em termos das novas coordenadas
. Como
depende de
e
, as derivadas ficam:
Mas
não depende de
, então a última termo é zero:
Passo 6
De maneira semelhante, a derivada parcial de
em relação a
é:
Como
, aplicando a transformação de ponto:
Portanto:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada temporal dessa expressão:
Aplicando a derivada ao produto:
Passo 8
Agora, lembrando as equações de Lagrange originais para as coordenadas
:
Então:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 9
Voltando à equação de Lagrange para
:
Perceba que o primeiro termo e o terceiro termo se cancelam:
Então sobra:
Passo 10
Para concluir, precisamos observar que, sob uma transformação de ponto, a segunda derivada misturada
não contribui para as equações de Lagrange, já que a transformação é válida para todo o tempo e as derivadas se cancelam.
Portanto, temos que:
Isso mostra que a Lagrangiana
satisfaz as equações de Lagrange nas novas coordenadas
.
Resposta
Assim, demonstramos que, sob uma transformação de ponto, a Lagrangiana transformada
satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas
: