Sejam um conjunto de coordenadas generalizadas para um sistema de graus de liberdade com lagrangiana . Suponha que mudemos o conjunto original de coordenadas generalizadas para outro através das equações de transformação
Esta transformação é chada transformação de ponto. Mostre que se a lagrangiana for expressa como uma função de e , e satisfizer as equações de transformação de ponto, então satisfaz as equações de Lagrange com respeito às coordenadas :
Matematicamente, uma transformação de ponto mapeia pontos do espaço de configuração definido pelos em pontos do espaço de configuração definido pelos . Em outras palavras, um mapeamento bijetivo diferenciável com inversa também diferenciável constitui um difeomorfismo, e portanto o espaço de configuração dos q

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com coordenadas generalizadas e uma Lagrangiana . A ideia é mudar essas coordenadas para outro conjunto usando uma transformação de ponto. Nosso objetivo é mostrar que, se a Lagrangiana expressa em termos de e , ou seja, , satisfaz as equações de transformação de ponto, então ela também satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas .
Vamos precisar entender o que são movimentos em coordenadas generalizadas, transformações de ponto e as próprias equações de Lagrange. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de ponto. Basicamente, é uma mudança de coordenadas onde cada nova coordenada depende apenas das antigas coordenadas e possivelmente do tempo . Matematicamente, isso está representado por:
Isso significa que cada é uma função das novas coordenadas e do tempo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a Lagrangiana. Ela é uma função que depende das coordenadas generalizadas , de suas derivadas no tempo e possivelmente do tempo :
Quando mudamos as coordenadas para , a Lagrangiana também muda para , onde:
Nossa tarefa é mostrar que, nessa nova coordenada , a Lagrangiana ainda satisfaz as equações de Lagrange.

Passo 4

As equações de Lagrange são fundamentais na mecânica Lagrangiana e são dadas por:
Essas equações determinam o comportamento dinâmico do sistema. O que queremos provar é que, após a transformação de coordenadas, a nova Lagrangiana cumpre essas equações para cada .

Passo 5

Vamos começar aplicando a regra da cadeia para expressar as derivadas parciais em termos das novas coordenadas . Como depende de e , as derivadas ficam:
Mas não depende de , então a última termo é zero:

Passo 6

De maneira semelhante, a derivada parcial de em relação a é:
Como , aplicando a transformação de ponto:
Portanto:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada temporal dessa expressão:
Aplicando a derivada ao produto:

Passo 8

Agora, lembrando as equações de Lagrange originais para as coordenadas :
Então:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 9

Voltando à equação de Lagrange para :
Perceba que o primeiro termo e o terceiro termo se cancelam:
Então sobra:

Passo 10

Para concluir, precisamos observar que, sob uma transformação de ponto, a segunda derivada misturada não contribui para as equações de Lagrange, já que a transformação é válida para todo o tempo e as derivadas se cancelam.
Portanto, temos que:
Isso mostra que a Lagrangiana satisfaz as equações de Lagrange nas novas coordenadas .

Resposta

Assim, demonstramos que, sob uma transformação de ponto, a Lagrangiana transformada satisfaz as equações de Lagrange em relação às coordenadas :

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