O pêndulo cicloidal de Huygens consiste numa partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas
Mostre que a langrangiana desse sistema pode ser escrita da forma
Fazendo o tranformação de ponto , obtenha a lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coordenada . Prove que o período de oscilação é igual a , independente da amplitude .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício trata do pêndulo cicloidal de Huygens, que é basicamente uma partícula que oscila num plano vertical seguindo um caminho chamado de ciclóide. O objetivo aqui é encontrar a Lagrangiana desse sistema, fazer uma mudança de coordenada para simplificar as coisas e, por fim, mostrar que o período das oscilações não depende da amplitude. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Então, precisamos encontrar e para o nosso sistema.

Passo 3

Vamos começar encontrando a energia cinética . A energia cinética depende da velocidade da partícula. Dado que as coordenadas paramétricas do ciclóide são:
Precisamos derivar e em relação ao tempo para encontrar as velocidades e .
Derivando em relação ao tempo:
Derivando em relação ao tempo:
Agora, a energia cinética é:
Substituindo e :
Simplificando:
Expandindo :
Então:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a energia potencial . A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde é a altura da partícula em relação a uma referência. Pelo enunciado, a coordenada indica que a altura é proporcional a . Então:

Passo 5

Com as expressões para e , podemos escrever a Lagrangiana:
Agora, vamos manipular essa expressão para chegar à forma dada no enunciado:
Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora vamos fazer a transformação de coordenada . Para isso, precisamos expressar , e outras funções em termos de .
Primeiro, expressamos em termos de . Sabemos que:
Agora, derivando em relação ao tempo:
Resolvendo para :

Passo 7

Substituindo e na Lagrangiana original:
Simplificando a primeira parte:
Então:

Passo 8

Agora temos a Lagrangiana em termos de :
Podemos reescrever isso como:
Para facilitar, vamos definir constantes:
Então:

Passo 9

Agora, usamos as equações de Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Lagrange é:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Lagrange:
Substituindo e :
Dividindo por :

Passo 10

A equação diferencial que obtenhamos é da forma de um movimento harmônico simples:
Onde:
O período de oscilações para um movimento harmônico simples é dado por:

Resposta

O período de oscilação do pêndulo cicloidal de Huygens é igual a , independentemente da amplitude .

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