O pêndulo cicloidal de Huygens consiste numa partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas
x=R theta+R sin theta , y=-R cos theta
Mostre que a langrangiana desse sistema pode ser escrita da forma
L=2 m R^2 cos ^2(theta2) dottheta^2+m g R cos theta
Fazendo o tranformação de ponto u=sin (theta2), obtenha a lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coordenada u. Prove que o período de oscilação é igual a 4 pi raizRg, independente da amplitude theta0.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício trata do pêndulo cicloidal de Huygens, que é basicamente uma partícula que oscila num plano vertical seguindo um caminho chamado de ciclóide. O objetivo aqui é encontrar a Lagrangiana desse sistema, fazer uma mudança de coordenada para simplificar as coisas e, por fim, mostrar que o período das oscilações não depende da amplitude. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana L = T - V é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Então, precisamos encontrar e para o nosso sistema.

Passo 3

Vamos começar encontrando a energia cinética x = R theta + R sin theta , y = -R cos theta . A energia cinética depende da velocidade da partícula. Dado que as coordenadas paramétricas do ciclóide são:
dotx = dxdt = R dottheta + R cos theta cdot dottheta = R dottheta (1 + cos theta)
Precisamos derivar doty = dydt = R sin theta cdot dottheta = R sin theta cdot dottheta e T = 12 m (dotx^2 + doty^2) em relação ao tempo para encontrar as velocidades T = 12 m [ (R dottheta (1 + cos theta))^2 + (R sin theta cdot dottheta)^2 ] e T = 12 m R^2 dottheta^2 [ (1 + cos theta)^2 + sin^2 theta ] .
Derivando (1 + cos theta)^2 = 1 + 2 cos theta + cos^2 theta em relação ao tempo:
T = 12 m R^2 dottheta^2 [ 1 + 2 cos theta + cos^2 theta + sin^2 theta ]
Derivando T = 12 m R^2 dottheta^2 (2 + 2 cos theta) = m R^2 dottheta^2 (1 + cos theta) em relação ao tempo:
Agora, a energia cinética é:
Substituindo e :
Simplificando:
Expandindo :
Então:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a energia potencial V = m g h . A energia potencial gravitacional é dada por:
V = m g (-R cos theta) = -m g R cos theta
Onde é a altura da partícula em relação a uma referência. Pelo enunciado, a coordenada indica que a altura é proporcional a . Então:

Passo 5

Com as expressões para L = T - V = m R^2 dottheta^2 (1 + cos theta) + m g R cos theta e L = 2 m R^2 cos^2(theta2) dottheta^2 + m g R cos theta , podemos escrever a Lagrangiana:
1 + cos theta = 2 cos^2(theta2)
Agora, vamos manipular essa expressão para chegar à forma dada no enunciado:
L = m R^2 dottheta^2 cdot 2 cos^2(theta2) + m g R cos theta = 2 m R^2 cos^2(theta2) dottheta^2 + m g R cos theta
Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora vamos fazer a transformação de coordenada cos(theta2) = raiz1 - sin^2(theta2) = raiz1 - u^2 . Para isso, precisamos expressar dotu = ddt sin(theta2) = 12 cos(theta2) dottheta = 12 raiz1 - u^2 dottheta , dottheta = 2 doturaiz1 - u^2 e outras funções em termos de .
Primeiro, expressamos em termos de . Sabemos que:
Agora, derivando em relação ao tempo:
Resolvendo para :

Passo 7

Substituindo L = 2 m R^2 (1 - u^2) (2 doturaiz1 - u^2)^2 + m g R (1 - 2u^2) e (2 doturaiz1 - u^2)^2 = 4 dotu^21 - u^2 na Lagrangiana original:
L = 2 m R^2 (1 - u^2) cdot 4 dotu^21 - u^2 + m g R (1 - 2u^2) = 8 m R^2 dotu^2 + m g R (1 - 2u^2)
Simplificando a primeira parte:
Então:

Passo 8

Agora temos a Lagrangiana em termos de L = 8 m R^2 dotu^2 + m g R (1 - 2u^2) :
L = 12 (16 m R^2) dotu^2 + m g R (1 - 2u^2)
Podemos reescrever isso como:
A = 16 m R^2 e B = m g R
Para facilitar, vamos definir constantes:
L = 12 A dotu^2 + B (1 - 2u^2)
Então:

Passo 9

Agora, usamos as equações de Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Lagrange é:
ddt ( partial Lpartial dotu ) - partial Lpartial u = 0
Calculando as derivadas:
partial Lpartial dotu = A dotu
ddt ( partial Lpartial dotu ) = A ddotu
partial Lpartial u = -4 B u
Substituindo na equação de Lagrange:
A ddotu + 4 B u = 0
Substituindo 16 m R^2 ddotu + 4 m g R u = 0 e 4 R ddotu + g u = 0 Rightarrow ddotu + g4 R u = 0 :
Dividindo por :

Passo 10

A equação diferencial que obtenhamos é da forma de um movimento harmônico simples:
ddotu + omega^2 u = 0
Onde:
omega^2 = g4 R Rightarrow omega = raizg4 R
O período T = 2 piomega = 2 pi raiz4 Rg = 4 pi raizRg de oscilações para um movimento harmônico simples é dado por:

Resposta

O período de oscilação do pêndulo cicloidal de Huygens é igual a , independentemente da amplitude .

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