O pêndulo cicloidal de Huygens consiste numa partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas
Mostre que a langrangiana desse sistema pode ser escrita da forma
Fazendo o tranformação de ponto
, obtenha a lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coordenada
. Prove que o período de oscilação é igual a
, independente da amplitude
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício trata do pêndulo cicloidal de Huygens, que é basicamente uma partícula que oscila num plano vertical seguindo um caminho chamado de ciclóide. O objetivo aqui é encontrar a Lagrangiana desse sistema, fazer uma mudança de coordenada para simplificar as coisas e, por fim, mostrar que o período das oscilações não depende da amplitude. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana
é dada pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Então, precisamos encontrar
e
para o nosso sistema.
Passo 3
Vamos começar encontrando a energia cinética
. A energia cinética depende da velocidade da partícula. Dado que as coordenadas paramétricas do ciclóide são:
Precisamos derivar
e
em relação ao tempo para encontrar as velocidades
e
.
Derivando
em relação ao tempo:
Derivando
em relação ao tempo:
Agora, a energia cinética
é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Expandindo
:
Então:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a energia potencial
. A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde
é a altura da partícula em relação a uma referência. Pelo enunciado, a coordenada
indica que a altura é proporcional a
. Então:
Passo 5
Com as expressões para
e
, podemos escrever a Lagrangiana:
Agora, vamos manipular essa expressão para chegar à forma dada no enunciado:
Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora vamos fazer a transformação de coordenada
. Para isso, precisamos expressar
,
e outras funções em termos de
.
Primeiro, expressamos
em termos de
. Sabemos que:
Agora, derivando
em relação ao tempo:
Resolvendo para
:
Passo 7
Substituindo
e
na Lagrangiana original:
Simplificando a primeira parte:
Então:
Passo 8
Agora temos a Lagrangiana em termos de
:
Podemos reescrever isso como:
Para facilitar, vamos definir constantes:
Então:
Passo 9
Agora, usamos as equações de Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Lagrange é:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Lagrange:
Substituindo
e
:
Dividindo por
:
Passo 10
A equação diferencial que obtenhamos é da forma de um movimento harmônico simples:
Onde:
O período
de oscilações para um movimento harmônico simples é dado por:
Resposta
O período de oscilação do pêndulo cicloidal de Huygens é igual a
, independentemente da amplitude
.