O pêndulo cicloidal de Huygens consiste numa partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas
Mostre que a langrangiana desse sistema pode ser escrita da forma
Fazendo o tranformação de ponto
, obtenha a lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coordenada
. Prove que o período de oscilação é igual a
, independente da amplitude
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício trata do pêndulo cicloidal de Huygens, que é basicamente uma partícula que oscila num plano vertical seguindo um caminho chamado de ciclóide. O objetivo aqui é encontrar a Lagrangiana desse sistema, fazer uma mudança de coordenada para simplificar as coisas e, por fim, mostrar que o período das oscilações não depende da amplitude. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana
é dada pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Então, precisamos encontrar
e
para o nosso sistema.
Passo 3
Vamos começar encontrando a energia cinética
. A energia cinética depende da velocidade da partícula. Dado que as coordenadas paramétricas do ciclóide são:
Precisamos derivar
e
em relação ao tempo para encontrar as velocidades
e
.
Derivando
em relação ao tempo:
Derivando
em relação ao tempo:
Agora, a energia cinética
é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Expandindo
:
Então:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a energia potencial
. A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde
é a altura da partícula em relação a uma referência. Pelo enunciado, a coordenada
indica que a altura é proporcional a
. Então:
Passo 5
Com as expressões para
e
, podemos escrever a Lagrangiana:
Agora, vamos manipular essa expressão para chegar à forma dada no enunciado:
Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora vamos fazer a transformação de coordenada
. Para isso, precisamos expressar
,
e outras funções em termos de
.
Primeiro, expressamos
em termos de
. Sabemos que:
Agora, derivando
em relação ao tempo:
Resolvendo para
:
Passo 7
Substituindo
e
na Lagrangiana original:
Simplificando a primeira parte:
Então:
Passo 8
Agora temos a Lagrangiana em termos de
:
Podemos reescrever isso como:
Para facilitar, vamos definir constantes:
Então:
Passo 9
Agora, usamos as equações de Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Lagrange é:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Lagrange:
Substituindo
e
:
Dividindo por
:
Passo 10
A equação diferencial que obtenhamos é da forma de um movimento harmônico simples:
Onde:
O período
de oscilações para um movimento harmônico simples é dado por:
Resposta
O período de oscilação do pêndulo cicloidal de Huygens é igual a
, independentemente da amplitude
.
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11
O consumo de energia associado a um aquecedor de água doméstico possui dois componentes: (i) a energia que deve ser fornecida à água para elevar a sua temperatura até o valor desejado no interior do aquecedor, à medida que ela é introduzida para substituir aquela que está sendo consumida, e (ii) a energia necessária para compensar as perdas de calor que ocorrem no tanque de armazenamento do aquecedor, para mantê-lo na temperatura desejada.
O sistema é composto por um tanque cilíndrico de 80 cm de altura por 60 cm de diâmetro, no qual o aquecimento é feito por uma resistência elétrica, imersa na água. Água é reposta de forma a manter o nível do tanque constante. O tanque é revestido por um isolante (espuma de uretana, ), com uma espessura de 25 mm. O custo unitário de energia elétrica é de R$0.41/(kW.h). Vamos analisar o consumo total de energia em uma residência onde o consumo de água aquecida diário é de 380 L .
a) Se a água de reposição está disponível a uma temperatura de , qual o consumo diário de energia associado ao aquecimento desta água até uma temperatura de armazenamento de
? Estime o custo anual da energia requerida pelo sistema.
O consumo de energia associado a um aquecedor de água doméstico possui dois componentes: (i) a energia que deve ser fornecida à água para elevar a sua temperatura até o valor desejado no interior do aquecedor, à medida que ela é introduzida para substituir aquela que está sendo consumida, e (ii) a energia necessária para compensar as perdas de calor que ocorrem no tanque de armazenamento do aquecedor, para mantê-lo na temperatura desejada.
O sistema é composto por um tanque cilíndrico de 80 cm de altura por 60 cm de diâmetro, no qual o aquecimento é feito por uma resistência elétrica, imersa na água. Água é reposta de forma a manter o nível do tanque constante. O tanque é revestido por um isolante (espuma de uretana,
a) Se a água de reposição está disponível a uma temperatura de
Sejam
um conjunto de coordenadas generalizadas para um sistema de
graus de liberdade com lagrangiana
. Suponha que mudemos o conjunto original de coordenadas generalizadas para outro
através das equações de transformação
Esta transformação é chada transformação de ponto. Mostre que se a lagrangiana for expressa como uma função de
e
, e satisfizer as equações de transformação de ponto, então
satisfaz as equações de Lagrange com respeito às coordenadas
:
Matematicamente, uma transformação de ponto mapeia pontos do espaço de configuração definido pelos
em pontos do espaço de configuração definido pelos
. Em outras palavras, um mapeamento bijetivo diferenciável com inversa também diferenciável constitui um difeomorfismo, e portanto o espaço de configuração dos q
Calcular a dimensão da constante 0,61 contida na equação abaixo, geralmente utilizada para o cálculo da vazão através de um orifício situado na lateral do tanque:
em que: Q é a vazão,
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g é aceleração gravitacional local,
h é a altura do líquido no tanque.
A é a área do orifício,
g é aceleração gravitacional local,
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Considere agora que uma terceira massa,
, é afixada através de uma mola, de constante elástica
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.