Sejam
,
dois números naturais. Prove que existe um número natural
tal que
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema que diz o seguinte: Dado dois números naturais, chamados
e
, a gente precisa provar que existe outro número natural, que a gente vai chamar de
, tal que quando a gente multiplica
por
, o resultado fica maior que
. Para resolver isso, vamos usar um conceito básico de matemática que fala que sempre dá para encontrar um número suficientemente grande para satisfazer essa condição. Vamos passo a passo entender isso melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa multiplicar
por
. Quando a gente aumenta
, o produto
também aumenta proporcionalmente. Ou seja, se a gente continuar aumentando
, o valor de
vai ficando cada vez maior.
Passo 3
Agora, queremos que
seja maior que
. Para garantir isso, precisamos encontrar um
tal que essa condição seja verdadeira. Como
é um número natural, a gente pode escolher
grande o suficiente para que
ultrapasse
.
Passo 4
Vamos pensar no seguinte: se dividirmos
por
, a gente obtém um quociente que pode não ser um número inteiro. Mas, como
precisa ser natural, a gente pode arredondar esse quociente para cima. Em outras palavras, podemos escolher
como o menor número natural maior que
.
Passo 5
Mas pra simplificar, sem precisar usar divisão, a gente pode simplesmente escolher
igual a
. Dessa forma, temos:
Multiplicando
por
:
Como
é um número natural positivo,
é definitivamente maior que
.
Resposta
Portanto, existe um número natural
tal que
.