Sejam r, s dois números naturais. Prove que existe um número natural h tal que h cdot r>s.

Passo 1

Então, a gente tem um problema que diz o seguinte: Dado dois números naturais, chamados e , a gente precisa provar que existe outro número natural, que a gente vai chamar de , tal que quando a gente multiplica por , o resultado fica maior que . Para resolver isso, vamos usar um conceito básico de matemática que fala que sempre dá para encontrar um número suficientemente grande para satisfazer essa condição. Vamos passo a passo entender isso melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa multiplicar por . Quando a gente aumenta , o produto também aumenta proporcionalmente. Ou seja, se a gente continuar aumentando , o valor de vai ficando cada vez maior.

Passo 3

Agora, queremos que seja maior que . Para garantir isso, precisamos encontrar um tal que essa condição seja verdadeira. Como é um número natural, a gente pode escolher grande o suficiente para que ultrapasse .

Passo 4

Vamos pensar no seguinte: se dividirmos por , a gente obtém um quociente que pode não ser um número inteiro. Mas, como precisa ser natural, a gente pode arredondar esse quociente para cima. Em outras palavras, podemos escolher como o menor número natural maior que .

Passo 5

Mas pra simplificar, sem precisar usar divisão, a gente pode simplesmente escolher h = s + 1 igual a h cdot r = (s + 1) cdot r = s cdot r + r . Dessa forma, temos:
Multiplicando por :
Como é um número natural positivo, é definitivamente maior que .

Resposta

Portanto, existe um número natural tal que .

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